Intégrale de $$$\frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}\, dx$$$.

Soit $$$u=x^{3}$$$.

Alors $$$du=\left(x^{3}\right)^{\prime }dx = 3 x^{2} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$x^{2} dx = \frac{du}{3}$$$.

Par conséquent,

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{u}}}{3 u^{2}} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{3}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{u}}}{3 u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} d u}}{3}\right)}}$$

Soit $$$v=\frac{1}{u}$$$.

Alors $$$dv=\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime }du = - \frac{1}{u^{2}} du$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\frac{du}{u^{2}} = - dv$$$.

Ainsi,

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}}}{3}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\left(- \int{e^{v} d v}\right)}}}{3}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$ :

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{v} d v}}}}{3} = - \frac{{\color{red}{e^{v}}}}{3}$$

Rappelons que $$$v=\frac{1}{u}$$$ :

$$- \frac{e^{{\color{red}{v}}}}{3} = - \frac{e^{{\color{red}{\frac{1}{u}}}}}{3}$$

Rappelons que $$$u=x^{3}$$$ :

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}^{-1}}}{3} = - \frac{e^{{\color{red}{x^{3}}}^{-1}}}{3}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x} = - \frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{3}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x} = - \frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{3}+C$$

$$$\int \frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}\, dx = - \frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{3} + C$$$A