$$$\frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}$$$ 的積分
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求$$$\int \frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}\, dx$$$。
解答
令 $$$u=x^{3}$$$。
則 $$$du=\left(x^{3}\right)^{\prime }dx = 3 x^{2} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$x^{2} dx = \frac{du}{3}$$$。
該積分可改寫為
$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{u}}}{3 u^{2}} d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{u}}}{3 u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} d u}}{3}\right)}}$$
令 $$$v=\frac{1}{u}$$$。
則 $$$dv=\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime }du = - \frac{1}{u^{2}} du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\frac{du}{u^{2}} = - dv$$$。
該積分可改寫為
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}}}{3}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$：
$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\left(- \int{e^{v} d v}\right)}}}{3}$$
指數函數的積分為 $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$：
$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{v} d v}}}}{3} = - \frac{{\color{red}{e^{v}}}}{3}$$
回顧一下 $$$v=\frac{1}{u}$$$：
$$- \frac{e^{{\color{red}{v}}}}{3} = - \frac{e^{{\color{red}{\frac{1}{u}}}}}{3}$$
回顧一下 $$$u=x^{3}$$$：
$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}^{-1}}}{3} = - \frac{e^{{\color{red}{x^{3}}}^{-1}}}{3}$$
因此，
$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x} = - \frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{3}$$
加上積分常數：
$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x} = - \frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{3}+C$$
答案
$$$\int \frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}\, dx = - \frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{3} + C$$$A