Funktion $$$t^{3} e^{- t^{2}}$$$ integraali

Määritä $$$\int t^{3} e^{- t^{2}}\, dt$$$.

Olkoon $$$u=- t^{2}$$$.

Tällöin $$$du=\left(- t^{2}\right)^{\prime }dt = - 2 t dt$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$t dt = - \frac{du}{2}$$$.

Integraali muuttuu muotoon

$${\color{red}{\int{t^{3} e^{- t^{2}} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{u e^{u}}{2} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{2}$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = u e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{u e^{u}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{u e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

Integraalin $$$\int{u e^{u} d u}$$$ kohdalla käytä osittaisintegrointia $$$\int \operatorname{m} \operatorname{dv} = \operatorname{m}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dm}$$$.

Olkoon $$$\operatorname{m}=u$$$ ja $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$.

Tällöin $$$\operatorname{dm}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja $$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$ (vaiheet ovat nähtävissä »).

Siis,

$$\frac{{\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}}{2}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{u e^{u}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{2} = \frac{u e^{u}}{2} - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{2}$$

Muista, että $$$u=- t^{2}$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{2} + \frac{{\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}}}{2} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- t^{2}\right)}}}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(- t^{2}\right)}} e^{{\color{red}{\left(- t^{2}\right)}}}}{2}$$

Näin ollen,

$$\int{t^{3} e^{- t^{2}} d t} = - \frac{t^{2} e^{- t^{2}}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2}$$

Sievennä:

$$\int{t^{3} e^{- t^{2}} d t} = \frac{\left(- t^{2} - 1\right) e^{- t^{2}}}{2}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{t^{3} e^{- t^{2}} d t} = \frac{\left(- t^{2} - 1\right) e^{- t^{2}}}{2}+C$$

$$$\int t^{3} e^{- t^{2}}\, dt = \frac{\left(- t^{2} - 1\right) e^{- t^{2}}}{2} + C$$$A