$$$t^{3} e^{- t^{2}}$$$ 的积分

求$$$\int t^{3} e^{- t^{2}}\, dt$$$。

设$$$u=- t^{2}$$$。

则$$$du=\left(- t^{2}\right)^{\prime }dt = - 2 t dt$$$ (步骤见»)，并有$$$t dt = - \frac{du}{2}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{t^{3} e^{- t^{2}} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{u e^{u}}{2} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = u e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{u e^{u}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{u e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

对于积分$$$\int{u e^{u} d u}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{c} \operatorname{dv} = \operatorname{c}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dc}$$$。

设 $$$\operatorname{c}=u$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$。

则 $$$\operatorname{dc}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$ (步骤见 »)。

因此，

$$\frac{{\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}}{2}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{u e^{u}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{2} = \frac{u e^{u}}{2} - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{2}$$

回忆一下 $$$u=- t^{2}$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{2} + \frac{{\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}}}{2} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- t^{2}\right)}}}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(- t^{2}\right)}} e^{{\color{red}{\left(- t^{2}\right)}}}}{2}$$

因此，

$$\int{t^{3} e^{- t^{2}} d t} = - \frac{t^{2} e^{- t^{2}}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2}$$

化简：

$$\int{t^{3} e^{- t^{2}} d t} = \frac{\left(- t^{2} - 1\right) e^{- t^{2}}}{2}$$

加上积分常数：

$$\int{t^{3} e^{- t^{2}} d t} = \frac{\left(- t^{2} - 1\right) e^{- t^{2}}}{2}+C$$

$$$\int t^{3} e^{- t^{2}}\, dt = \frac{\left(- t^{2} - 1\right) e^{- t^{2}}}{2} + C$$$A