Funktion $$$3 x^{4} e^{x^{5}}$$$ integraali

Määritä $$$\int 3 x^{4} e^{x^{5}}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=x^{5}$$$.

Tällöin $$$du=\left(x^{5}\right)^{\prime }dx = 5 x^{4} dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$x^{4} dx = \frac{du}{5}$$$.

Siis,

$${\color{red}{\int{3 x^{4} e^{x^{5}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{3 e^{u}}{5} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=\frac{3}{5}$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{3 e^{u}}{5} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{3 \int{e^{u} d u}}{5}\right)}}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{3 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{5} = \frac{3 {\color{red}{e^{u}}}}{5}$$

Muista, että $$$u=x^{5}$$$:

$$\frac{3 e^{{\color{red}{u}}}}{5} = \frac{3 e^{{\color{red}{x^{5}}}}}{5}$$

Näin ollen,

$$\int{3 x^{4} e^{x^{5}} d x} = \frac{3 e^{x^{5}}}{5}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{3 x^{4} e^{x^{5}} d x} = \frac{3 e^{x^{5}}}{5}+C$$

$$$\int 3 x^{4} e^{x^{5}}\, dx = \frac{3 e^{x^{5}}}{5} + C$$$A