$$$3 x^{4} e^{x^{5}}$$$の積分

$$$\int 3 x^{4} e^{x^{5}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x^{5}$$$ とする。

すると $$$du=\left(x^{5}\right)^{\prime }dx = 5 x^{4} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$x^{4} dx = \frac{du}{5}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{3 x^{4} e^{x^{5}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{3 e^{u}}{5} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{3}{5}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{3 e^{u}}{5} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{3 \int{e^{u} d u}}{5}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$\frac{3 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{5} = \frac{3 {\color{red}{e^{u}}}}{5}$$

次のことを思い出してください $$$u=x^{5}$$$:

$$\frac{3 e^{{\color{red}{u}}}}{5} = \frac{3 e^{{\color{red}{x^{5}}}}}{5}$$

したがって、

$$\int{3 x^{4} e^{x^{5}} d x} = \frac{3 e^{x^{5}}}{5}$$

積分定数を加える:

$$\int{3 x^{4} e^{x^{5}} d x} = \frac{3 e^{x^{5}}}{5}+C$$

$$$\int 3 x^{4} e^{x^{5}}\, dx = \frac{3 e^{x^{5}}}{5} + C$$$A