Intégrale de $$$3 x^{4} e^{x^{5}}$$$

Déterminez $$$\int 3 x^{4} e^{x^{5}}\, dx$$$.

Soit $$$u=x^{5}$$$.

Alors $$$du=\left(x^{5}\right)^{\prime }dx = 5 x^{4} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$x^{4} dx = \frac{du}{5}$$$.

Par conséquent,

$${\color{red}{\int{3 x^{4} e^{x^{5}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{3 e^{u}}{5} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{3}{5}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{3 e^{u}}{5} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{3 \int{e^{u} d u}}{5}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$\frac{3 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{5} = \frac{3 {\color{red}{e^{u}}}}{5}$$

Rappelons que $$$u=x^{5}$$$ :

$$\frac{3 e^{{\color{red}{u}}}}{5} = \frac{3 e^{{\color{red}{x^{5}}}}}{5}$$

Par conséquent,

$$\int{3 x^{4} e^{x^{5}} d x} = \frac{3 e^{x^{5}}}{5}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{3 x^{4} e^{x^{5}} d x} = \frac{3 e^{x^{5}}}{5}+C$$

$$$\int 3 x^{4} e^{x^{5}}\, dx = \frac{3 e^{x^{5}}}{5} + C$$$A