Funktion $$$\sin{\left(2 x^{2} \right)}$$$ integraali

Määritä $$$\int \sin{\left(2 x^{2} \right)}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=\sqrt{2} x$$$.

Tällöin $$$du=\left(\sqrt{2} x\right)^{\prime }dx = \sqrt{2} dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = \frac{\sqrt{2} du}{2}$$$.

Näin ollen,

$${\color{red}{\int{\sin{\left(2 x^{2} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2} \sin{\left(u^{2} \right)}}{2} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=\frac{\sqrt{2}}{2}$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u^{2} \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2} \sin{\left(u^{2} \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \int{\sin{\left(u^{2} \right)} d u}}{2}\right)}}$$

Tällä integraalilla (Fresnelin sini-integraali) ei ole suljettua muotoa:

$$\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{\sin{\left(u^{2} \right)} d u}}}}{2} = \frac{\sqrt{2} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} S\left(\frac{\sqrt{2} u}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}\right)}}}{2}$$

Muista, että $$$u=\sqrt{2} x$$$:

$$\frac{\sqrt{\pi} S\left(\frac{\sqrt{2} {\color{red}{u}}}{\sqrt{\pi}}\right)}{2} = \frac{\sqrt{\pi} S\left(\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\sqrt{2} x}}}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}$$

Näin ollen,

$$\int{\sin{\left(2 x^{2} \right)} d x} = \frac{\sqrt{\pi} S\left(\frac{2 x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\sin{\left(2 x^{2} \right)} d x} = \frac{\sqrt{\pi} S\left(\frac{2 x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}+C$$

$$$\int \sin{\left(2 x^{2} \right)}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} S\left(\frac{2 x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2} + C$$$A