$$$\sin{\left(2 x^{2} \right)}$$$の積分

$$$\int \sin{\left(2 x^{2} \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\sqrt{2} x$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sqrt{2} x\right)^{\prime }dx = \sqrt{2} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{\sqrt{2} du}{2}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\sin{\left(2 x^{2} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2} \sin{\left(u^{2} \right)}}{2} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{\sqrt{2}}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u^{2} \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2} \sin{\left(u^{2} \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \int{\sin{\left(u^{2} \right)} d u}}{2}\right)}}$$

この積分（フレネル正弦積分）には閉形式はありません:

$$\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{\sin{\left(u^{2} \right)} d u}}}}{2} = \frac{\sqrt{2} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} S\left(\frac{\sqrt{2} u}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}\right)}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=\sqrt{2} x$$$:

$$\frac{\sqrt{\pi} S\left(\frac{\sqrt{2} {\color{red}{u}}}{\sqrt{\pi}}\right)}{2} = \frac{\sqrt{\pi} S\left(\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\sqrt{2} x}}}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}$$

したがって、

$$\int{\sin{\left(2 x^{2} \right)} d x} = \frac{\sqrt{\pi} S\left(\frac{2 x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sin{\left(2 x^{2} \right)} d x} = \frac{\sqrt{\pi} S\left(\frac{2 x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}+C$$

$$$\int \sin{\left(2 x^{2} \right)}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} S\left(\frac{2 x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2} + C$$$A