Integraali $$$\sqrt{a - x}$$$:stä muuttujan $$$x$$$ suhteen

Määritä $$$\int \sqrt{a - x}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=a - x$$$.

Tällöin $$$du=\left(a - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = - du$$$.

Siis,

$${\color{red}{\int{\sqrt{a - x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \sqrt{u}\right)d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=-1$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- \sqrt{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\sqrt{u} d u}\right)}}$$

Sovella potenssisääntöä $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ käyttäen $$$n=\frac{1}{2}$$$:

$$- {\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}=- {\color{red}{\int{u^{\frac{1}{2}} d u}}}=- {\color{red}{\frac{u^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}=- {\color{red}{\left(\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}$$

Muista, että $$$u=a - x$$$:

$$- \frac{2 {\color{red}{u}}^{\frac{3}{2}}}{3} = - \frac{2 {\color{red}{\left(a - x\right)}}^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Näin ollen,

$$\int{\sqrt{a - x} d x} = - \frac{2 \left(a - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\sqrt{a - x} d x} = - \frac{2 \left(a - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+C$$

$$$\int \sqrt{a - x}\, dx = - \frac{2 \left(a - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + C$$$A