$$$\sqrt{a - x}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int \sqrt{a - x}\, dx$$$。

令 $$$u=a - x$$$。

則 $$$du=\left(a - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\sqrt{a - x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \sqrt{u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \sqrt{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\sqrt{u} d u}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=\frac{1}{2}$$$：

$$- {\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}=- {\color{red}{\int{u^{\frac{1}{2}} d u}}}=- {\color{red}{\frac{u^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}=- {\color{red}{\left(\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}$$

回顧一下 $$$u=a - x$$$：

$$- \frac{2 {\color{red}{u}}^{\frac{3}{2}}}{3} = - \frac{2 {\color{red}{\left(a - x\right)}}^{\frac{3}{2}}}{3}$$

因此，

$$\int{\sqrt{a - x} d x} = - \frac{2 \left(a - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$$

加上積分常數：

$$\int{\sqrt{a - x} d x} = - \frac{2 \left(a - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+C$$

$$$\int \sqrt{a - x}\, dx = - \frac{2 \left(a - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + C$$$A