$$$\sqrt{a - x}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \sqrt{a - x}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=a - x$$$ とする。

すると $$$du=\left(a - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = - du$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\sqrt{a - x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \sqrt{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \sqrt{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\sqrt{u} d u}\right)}}$$

$$$n=\frac{1}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- {\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}=- {\color{red}{\int{u^{\frac{1}{2}} d u}}}=- {\color{red}{\frac{u^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}=- {\color{red}{\left(\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=a - x$$$:

$$- \frac{2 {\color{red}{u}}^{\frac{3}{2}}}{3} = - \frac{2 {\color{red}{\left(a - x\right)}}^{\frac{3}{2}}}{3}$$

したがって、

$$\int{\sqrt{a - x} d x} = - \frac{2 \left(a - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sqrt{a - x} d x} = - \frac{2 \left(a - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+C$$

$$$\int \sqrt{a - x}\, dx = - \frac{2 \left(a - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + C$$$A