Hyperbelin $$$- 25 x^{2} + 4 y^{2} = 100$$$ ominaisuudet

Määritä hyperbelin $$$- 25 x^{2} + 4 y^{2} = 100$$$ keskipiste, polttopisteet, kärjet, sivukärjet, suuren akselin pituus, puolisuuren akselin pituus, pienen akselin pituus, puolipienen akselin pituus, polttosivut, polttosivujen pituus (focal width), polttoparametri, eksentrisyys, lineaarinen eksentrisyys (polttopiste-etäisyys), johtosuorat, asymptootit, x-akselin leikkauspisteet, y-akselin leikkauspisteet, määrittelyjoukko ja arvojoukko.

Hyperbelin yhtälö on $$$\frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} - \frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} = 1$$$, missä $$$\left(h, k\right)$$$ on keskipiste ja $$$a$$$ ja $$$b$$$ ovat suuren ja pienen puoliakselin pituudet.

Hyperbelimme on tässä muodossa $$$\frac{\left(y - 0\right)^{2}}{25} - \frac{\left(x - 0\right)^{2}}{4} = 1$$$.

Siis, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 2$$$, $$$b = 5$$$.

Standardimuoto on $$$\frac{y^{2}}{5^{2}} - \frac{x^{2}}{2^{2}} = 1$$$.

Huippumuoto on $$$\frac{y^{2}}{25} - \frac{x^{2}}{4} = 1$$$.

Yleinen muoto on $$$25 x^{2} - 4 y^{2} + 100 = 0$$$.

Lineaarinen eksentrisyys (polttopisteen etäisyys) on $$$c = \sqrt{b^{2} + a^{2}} = \sqrt{29}$$$.

Eksentrisyys on $$$e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{29}}{5}$$$.

Ensimmäinen polttopiste on $$$\left(h, k - c\right) = \left(0, - \sqrt{29}\right)$$$.

Toinen polttopiste on $$$\left(h, k + c\right) = \left(0, \sqrt{29}\right)$$$.

Ensimmäinen kärkipiste on $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -5\right)$$$.

Toinen kärkipiste on $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 5\right)$$$.

Ensimmäinen apukärkipiste on $$$\left(h - a, k\right) = \left(-2, 0\right)$$$.

Toinen apukärki on $$$\left(h + a, k\right) = \left(2, 0\right)$$$.

Suuren akselin pituus on $$$2 b = 10$$$.

Pieniakselin pituus on $$$2 a = 4$$$.

Fokaaliparametri on polttopisteen ja johtosuoran välinen etäisyys: $$$\frac{a^{2}}{c} = \frac{4 \sqrt{29}}{29}$$$.

Latera recta ovat sivuakselin suuntaiset suorat, jotka kulkevat polttopisteiden kautta.

Ensimmäinen suoramitta on $$$y = - \sqrt{29}$$$.

Toinen latus rectum on $$$y = \sqrt{29}$$$.

Ensimmäisen latus rectumin päätepisteet voidaan löytää ratkaisemalla yhtälöryhmän $$$\begin{cases} 25 x^{2} - 4 y^{2} + 100 = 0 \\ y = - \sqrt{29} \end{cases}$$$ (vaiheet: katso system of equations calculator).

Ensimmäisen latus rectumin päätepisteet ovat $$$\left(- \frac{4}{5}, - \sqrt{29}\right)$$$, $$$\left(\frac{4}{5}, - \sqrt{29}\right)$$$.

Toisen johtojänteen päätepisteet voidaan löytää ratkaisemalla järjestelmä $$$\begin{cases} 25 x^{2} - 4 y^{2} + 100 = 0 \\ y = \sqrt{29} \end{cases}$$$ (vaiheista, katso yhtälöryhmälaskin).

Toisen latus rectumin päätepisteet ovat $$$\left(- \frac{4}{5}, \sqrt{29}\right)$$$, $$$\left(\frac{4}{5}, \sqrt{29}\right)$$$.

Latera recta -jänteiden pituus (fokaalileveys) on $$$\frac{2 a^{2}}{b} = \frac{8}{5}$$$.

Ensimmäinen johtosuora on $$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = - \frac{25 \sqrt{29}}{29}$$$.

Toinen johtosuora on $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = \frac{25 \sqrt{29}}{29}$$$.

Ensimmäinen asymptootti on $$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - \frac{5 x}{2}$$$.

Toinen asymptootti on $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = \frac{5 x}{2}$$$.

x-akselin leikkauspisteet voidaan löytää asettamalla $$$y = 0$$$ yhtälöön ja ratkaisemalla $$$x$$$:n suhteen (vaiheet: katso leikkauspisteiden laskin).

Koska reaalisia ratkaisuja ei ole, x-akselin leikkauspisteitä ei ole.

Y-akselin leikkauspisteet voidaan löytää asettamalla $$$x = 0$$$ yhtälöön ja ratkaisemalla $$$y$$$:n suhteen: (vaiheittaiset ohjeet, ks. leikkauspisteiden laskin).

y-akselin leikkauspisteet: $$$\left(0, -5\right)$$$, $$$\left(0, 5\right)$$$

Standardimuoto/yhtälö: $$$\frac{y^{2}}{5^{2}} - \frac{x^{2}}{2^{2}} = 1$$$A.

Huippumuoto/yhtälö: $$$\frac{y^{2}}{25} - \frac{x^{2}}{4} = 1$$$A.

Yleinen muoto/yhtälö: $$$25 x^{2} - 4 y^{2} + 100 = 0$$$A.

Ensimmäinen polttopiste-johtosuoraesitys/yhtälö: $$$x^{2} + \left(y + \sqrt{29}\right)^{2} = \frac{29 \left(y + \frac{25 \sqrt{29}}{29}\right)^{2}}{25}$$$A.

Toinen polttopiste-johtosuora-muoto/yhtälö: $$$x^{2} + \left(y - \sqrt{29}\right)^{2} = \frac{29 \left(y - \frac{25 \sqrt{29}}{29}\right)^{2}}{25}$$$A.

Kuvaaja: katso graphing calculator.

Keskipiste: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Ensimmäinen polttopiste: $$$\left(0, - \sqrt{29}\right)\approx \left(0, -5.385164807134504\right)$$$A.

Toinen polttopiste: $$$\left(0, \sqrt{29}\right)\approx \left(0, 5.385164807134504\right)$$$A.

Ensimmäinen kärkipiste: $$$\left(0, -5\right)$$$A.

Toinen kärkipiste: $$$\left(0, 5\right)$$$A.

Ensimmäinen sivukärkipiste: $$$\left(-2, 0\right)$$$A.

Toinen sivukärkipiste: $$$\left(2, 0\right)$$$A.

Pääakselin (poikittaisakselin) pituus: $$$10$$$A.

Puolisuuren akselin pituus: $$$5$$$A.

Sivuakselin (konjugaattiakselin) pituus: $$$4$$$A.

Pienen puoliakselin pituus: $$$2$$$A.

Ensimmäinen latus rectum: $$$y = - \sqrt{29}\approx -5.385164807134504$$$A.

Toinen latus rectum: $$$y = \sqrt{29}\approx 5.385164807134504$$$A.

Ensimmäisen johtojänteen päätepisteet: $$$\left(- \frac{4}{5}, - \sqrt{29}\right)\approx \left(-0.8, -5.385164807134504\right)$$$, $$$\left(\frac{4}{5}, - \sqrt{29}\right)\approx \left(0.8, -5.385164807134504\right)$$$A.

Toisen polttojanan päätepisteet: $$$\left(- \frac{4}{5}, \sqrt{29}\right)\approx \left(-0.8, 5.385164807134504\right)$$$, $$$\left(\frac{4}{5}, \sqrt{29}\right)\approx \left(0.8, 5.385164807134504\right)$$$A.

Latera recta -pituus (fokaalileveys): $$$\frac{8}{5} = 1.6$$$A.

Fokaaliparametri: $$$\frac{4 \sqrt{29}}{29}\approx 0.742781352708207$$$A.

Eksentrisyys: $$$\frac{\sqrt{29}}{5}\approx 1.077032961426901$$$A.

Lineaarinen eksentrisyys (fokaalietäisyys): $$$\sqrt{29}\approx 5.385164807134504$$$A.

Ensimmäinen johtosuora: $$$y = - \frac{25 \sqrt{29}}{29}\approx -4.642383454426297$$$A.

Toinen johtosuora: $$$y = \frac{25 \sqrt{29}}{29}\approx 4.642383454426297$$$A.

Ensimmäinen asymptootti: $$$y = - \frac{5 x}{2} = - 2.5 x$$$A.

Toinen asymptootti: $$$y = \frac{5 x}{2} = 2.5 x$$$A.

x-akselin leikkauspisteet: Ei x-akselin leikkauspisteitä.

y-akselin leikkauspisteet: $$$\left(0, -5\right)$$$, $$$\left(0, 5\right)$$$A.

Määrittelyjoukko: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

Arvojoukko: $$$\left(-\infty, -5\right] \cup \left[5, \infty\right)$$$A.