Ολοκλήρωμα του $$$\frac{2}{x - 2}$$$

Βρείτε $$$\int \frac{2}{x - 2}\, dx$$$.

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=2$$$ και $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 2}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{x - 2} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{x - 2} d x}\right)}}$$

Έστω $$$u=x - 2$$$.

Τότε $$$du=\left(x - 2\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = du$$$.

Το ολοκλήρωμα γίνεται

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{x - 2} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

Το ολοκλήρωμα του $$$\frac{1}{u}$$$ είναι $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = 2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=x - 2$$$:

$$2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 2\right)}}}\right| \right)}$$

Επομένως,

$$\int{\frac{2}{x - 2} d x} = 2 \ln{\left(\left|{x - 2}\right| \right)}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\frac{2}{x - 2} d x} = 2 \ln{\left(\left|{x - 2}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \ln\left(\left|{x - 2}\right|\right) + C$$$A