|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Υπολογιστής Ορίων
Υπολογίστε όρια βήμα προς βήμα
Αυτός ο δωρεάν υπολογιστής θα προσπαθήσει να βρει το όριο (αμφίπλευρο ή μονόπλευρο, συμπεριλαμβανομένων του αριστερού και του δεξιού) της δοθείσας συνάρτησης στο δεδομένο σημείο (περιλαμβανομένου και του απείρου), με τα βήματα να παρουσιάζονται.
Χρησιμοποιούνται διάφορες τεχνικές για τον χειρισμό ορίων (συμπεριλαμβανομένων των απροσδιόριστων μορφών): νόμοι των ορίων, μετασχηματισμός και απλοποίηση, ο κανόνας του L'Hôpital, εξορθολογισμός του παρονομαστή, λήψη φυσικού λογαρίθμου κ.λπ.
Solution
Your input: find $$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 3 x^{2}\right)$$$
Multiply and divide by $$$x^{3}$$$:
$${\color{red}{\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 3 x^{2}\right)}} = {\color{red}{\lim_{x \to -\infty} x^{3} \frac{x^{3} - 3 x^{2}}{x^{3}}}}$$
Divide:
$${\color{red}{\lim_{x \to -\infty} x^{3} \frac{x^{3} - 3 x^{2}}{x^{3}}}} = {\color{red}{\lim_{x \to -\infty} x^{3} \left(1 - \frac{3}{x}\right)}}$$
The limit of a product/quotient is the product/quotient of limits:
$${\color{red}{\lim_{x \to -\infty} x^{3} \left(1 - \frac{3}{x}\right)}} = {\color{red}{\lim_{x \to -\infty} x^{3} \lim_{x \to -\infty}\left(1 - \frac{3}{x}\right)}}$$
The limit of a sum/difference is the sum/difference of limits:
$$\lim_{x \to -\infty} x^{3} {\color{red}{\lim_{x \to -\infty}\left(1 - \frac{3}{x}\right)}} = \lim_{x \to -\infty} x^{3} {\color{red}{\left(\lim_{x \to -\infty} 1 - \lim_{x \to -\infty} \frac{3}{x}\right)}}$$
The limit of a constant is equal to the constant:
$$\lim_{x \to -\infty} x^{3} \left(- \lim_{x \to -\infty} \frac{3}{x} + {\color{red}{\lim_{x \to -\infty} 1}}\right) = \lim_{x \to -\infty} x^{3} \left(- \lim_{x \to -\infty} \frac{3}{x} + {\color{red}{1}}\right)$$
Apply the constant multiple rule $$$\lim_{x \to -\infty} c f{\left(x \right)} = c \lim_{x \to -\infty} f{\left(x \right)}$$$ with $$$c=3$$$ and $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$:
$$\lim_{x \to -\infty} x^{3} \left(1 - {\color{red}{\lim_{x \to -\infty} \frac{3}{x}}}\right) = \lim_{x \to -\infty} x^{3} \left(1 - {\color{red}{\left(3 \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x}\right)}}\right)$$
The limit of a quotient is the quotient of limits:
$$\lim_{x \to -\infty} x^{3} \left(1 - 3 {\color{red}{\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x}}}\right) = \lim_{x \to -\infty} x^{3} \left(1 - 3 {\color{red}{\frac{\lim_{x \to -\infty} 1}{\lim_{x \to -\infty} x}}}\right)$$
The limit of a constant is equal to the constant:
$$\lim_{x \to -\infty} x^{3} \left(1 - \frac{3 {\color{red}{\lim_{x \to -\infty} 1}}}{\lim_{x \to -\infty} x}\right) = \lim_{x \to -\infty} x^{3} \left(1 - \frac{3 {\color{red}{1}}}{\lim_{x \to -\infty} x}\right)$$
Constant divided by a very big number equals $$$0$$$:
$$\lim_{x \to -\infty} x^{3} \left(1 - 3 {\color{red}{1 \frac{1}{\lim_{x \to -\infty} x}}}\right) = \lim_{x \to -\infty} x^{3} \left(1 - 3 {\color{red}{\left(0\right)}}\right)$$
The function decreases without a bound:
$$\lim_{x \to -\infty} x^{3} = -\infty$$
Therefore,
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) = -\infty$$
Answer: $$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 3 x^{2}\right)=-\infty$$$