Υπολογιστής Ορίων
Υπολογίστε όρια βήμα προς βήμα
Αυτός ο δωρεάν υπολογιστής θα προσπαθήσει να βρει το όριο (αμφίπλευρο ή μονόπλευρο, συμπεριλαμβανομένων του αριστερού και του δεξιού) της δοθείσας συνάρτησης στο δεδομένο σημείο (περιλαμβανομένου και του απείρου), με τα βήματα να παρουσιάζονται.
Χρησιμοποιούνται διάφορες τεχνικές για τον χειρισμό ορίων (συμπεριλαμβανομένων των απροσδιόριστων μορφών): νόμοι των ορίων, μετασχηματισμός και απλοποίηση, ο κανόνας του L'Hôpital, εξορθολογισμός του παρονομαστή, λήψη φυσικού λογαρίθμου κ.λπ.
Solution
Your input: find $$$\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin{\left(x \right)}}{x}$$$
Rewrite:
$${\color{red}{\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin{\left(x \right)}}{x}}} = {\color{red}{\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right)}}$$
The limit of a sum/difference is the sum/difference of limits:
$${\color{red}{\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right)}} = {\color{red}{\left(\lim_{x \to \infty} 1 + \lim_{x \to \infty} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right)}}$$
The limit of a constant is equal to the constant:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} + {\color{red}{\lim_{x \to \infty} 1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} + {\color{red}{1}}$$
Since the absolute value of the sine is is not greater than $$$1$$$, then:
$$- \frac{1}{x} \leq \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} \leq \frac{1}{x}$$
Taking the limits, we have that:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{x}\right) \leq \lim_{x \to \infty} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} \leq \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$$
$$0 \leq \lim_{x \to \infty} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} \leq 0$$
Since the limits are equal, then, by the Squeeze Theorem:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}=0$$
Therefore,
$$\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin{\left(x \right)}}{x} = 1$$
Answer: $$$\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin{\left(x \right)}}{x}=1$$$