Integral von $$$e^{2} \ln\left(x\right)$$$

Bestimme $$$\int e^{2} \ln\left(x\right)\, dx$$$.

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ mit $$$c=e^{2}$$$ und $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}$$$ an:

$${\color{red}{\int{e^{2} \ln{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{e^{2} \int{\ln{\left(x \right)} d x}}}$$

Für das Integral $$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$ verwenden Sie die partielle Integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Seien $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ und $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Dann gilt $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (Rechenschritte siehe ») und $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (Rechenschritte siehe »).

Also,

$$e^{2} {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}=e^{2} {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=e^{2} {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}$$

Wenden Sie die Konstantenregel $$$\int c\, dx = c x$$$ mit $$$c=1$$$ an:

$$e^{2} \left(x \ln{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{1 d x}}}\right) = e^{2} \left(x \ln{\left(x \right)} - {\color{red}{x}}\right)$$

Daher,

$$\int{e^{2} \ln{\left(x \right)} d x} = \left(x \ln{\left(x \right)} - x\right) e^{2}$$

Vereinfachen:

$$\int{e^{2} \ln{\left(x \right)} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right) e^{2}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{e^{2} \ln{\left(x \right)} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right) e^{2}+C$$

$$$\int e^{2} \ln\left(x\right)\, dx = x \left(\ln\left(x\right) - 1\right) e^{2} + C$$$A