Integral von $$$e^{- 5 y}$$$

Bestimme $$$\int e^{- 5 y}\, dy$$$.

Sei $$$u=- 5 y$$$.

Dann $$$du=\left(- 5 y\right)^{\prime }dy = - 5 dy$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dy = - \frac{du}{5}$$$.

Das Integral lässt sich umschreiben als

$${\color{red}{\int{e^{- 5 y} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{5}\right)d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=- \frac{1}{5}$$$ und $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{5}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{5}\right)}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{5} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{5}$$

Zur Erinnerung: $$$u=- 5 y$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{5} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- 5 y\right)}}}}{5}$$

Daher,

$$\int{e^{- 5 y} d y} = - \frac{e^{- 5 y}}{5}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{e^{- 5 y} d y} = - \frac{e^{- 5 y}}{5}+C$$

$$$\int e^{- 5 y}\, dy = - \frac{e^{- 5 y}}{5} + C$$$A