Ολοκλήρωμα του $$$e^{- 5 y}$$$

Βρείτε $$$\int e^{- 5 y}\, dy$$$.

Έστω $$$u=- 5 y$$$.

Τότε $$$du=\left(- 5 y\right)^{\prime }dy = - 5 dy$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dy = - \frac{du}{5}$$$.

Επομένως,

$${\color{red}{\int{e^{- 5 y} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{5}\right)d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=- \frac{1}{5}$$$ και $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{5}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{5}\right)}}$$

Το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{5} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{5}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=- 5 y$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{5} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- 5 y\right)}}}}{5}$$

Επομένως,

$$\int{e^{- 5 y} d y} = - \frac{e^{- 5 y}}{5}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{e^{- 5 y} d y} = - \frac{e^{- 5 y}}{5}+C$$

$$$\int e^{- 5 y}\, dy = - \frac{e^{- 5 y}}{5} + C$$$A