Integraal van $$$e^{- 5 y}$$$

Bepaal $$$\int e^{- 5 y}\, dy$$$.

Zij $$$u=- 5 y$$$.

Dan $$$du=\left(- 5 y\right)^{\prime }dy = - 5 dy$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$dy = - \frac{du}{5}$$$.

Dus,

$${\color{red}{\int{e^{- 5 y} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{5}\right)d u}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=- \frac{1}{5}$$$ en $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{5}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{5}\right)}}$$

De integraal van de exponentiële functie is $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{5} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{5}$$

We herinneren eraan dat $$$u=- 5 y$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{5} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- 5 y\right)}}}}{5}$$

Dus,

$$\int{e^{- 5 y} d y} = - \frac{e^{- 5 y}}{5}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{e^{- 5 y} d y} = - \frac{e^{- 5 y}}{5}+C$$

$$$\int e^{- 5 y}\, dy = - \frac{e^{- 5 y}}{5} + C$$$A