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Ableitung von $$$x \ln\left(x\right)$$$
Ähnliche Rechner: Rechner für logarithmische Differentiation, Rechner zur impliziten Differentiation mit Schritten
Ihre Eingabe
Bestimme $$$\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)$$$.
Lösung
Wende die Produktregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$f{\left(x \right)} = x$$$ und $$$g{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \ln\left(x\right) + x \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$$x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} + \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(x\right) = x {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)} + \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(x\right)$$Wenden Sie die Potenzregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ mit $$$n = 1$$$ an, mit anderen Worten, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$\ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + 1 = \ln\left(x\right) {\color{red}\left(1\right)} + 1$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right) = \ln\left(x\right) + 1$$$.
Antwort
$$$\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right) = \ln\left(x\right) + 1$$$A