Rechner zur impliziten Differentiation mit Schritten
Implizite Ableitungen Schritt für Schritt berechnen
Der Rechner für implizite Differentiation bestimmt die erste und zweite Ableitung einer impliziten Funktion, wobei entweder $$$y$$$ als Funktion von $$$x$$$ oder $$$x$$$ als Funktion von $$$y$$$ betrachtet wird, mit angezeigten Schritten.
Ihre Eingabe
Bestimme $$$\frac{d}{dx} \left(x^{3} + y^{3} = 2 x y\right)$$$.
Lösung
Leite beide Seiten der Gleichung getrennt ab (betrachte $$$y$$$ als Funktion von $$$x$$$): $$$\frac{d}{dx} \left(x^{3} + y^{3}{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(2 x y{\left(x \right)}\right)$$$.
Leite die linke Seite der Gleichung ab.
Die Ableitung einer Summe/Differenz ist die Summe/Differenz der Ableitungen:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{3} + y^{3}{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{3}\right) + \frac{d}{dx} \left(y^{3}{\left(x \right)}\right)\right)}$$Die Funktion $$$y^{3}{\left(x \right)}$$$ ist die Komposition $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ der beiden Funktionen $$$f{\left(u \right)} = u^{3}$$$ und $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$.
Wende die Kettenregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(y^{3}{\left(x \right)}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(x^{3}\right) = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{3}\right) \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(x^{3}\right)$$Wende die Potenzregel $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ mit $$$n = 3$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{3}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(x^{3}\right) = {\color{red}\left(3 u^{2}\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(x^{3}\right)$$Zurück zur ursprünglichen Variable:
$$3 {\color{red}\left(u\right)}^{2} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(x^{3}\right) = 3 {\color{red}\left(y{\left(x \right)}\right)}^{2} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(x^{3}\right)$$Wende die Potenzregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ mit $$$n = 3$$$ an:
$$3 y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{3}\right)\right)} = 3 y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + {\color{red}\left(3 x^{2}\right)}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(x^{3} + y^{3}{\left(x \right)}\right) = 3 x^{2} + 3 y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$$.
Leite die rechte Seite der Gleichung ab.
Wende die Konstantenfaktorregel $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$c = 2$$$ und $$$f{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x y{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x y{\left(x \right)}\right)\right)}$$Wende die Produktregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$f{\left(x \right)} = x$$$ und $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$ an:
$$2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x y{\left(x \right)}\right)\right)} = 2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) y{\left(x \right)} + x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)}$$Wenden Sie die Potenzregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ mit $$$n = 1$$$ an, mit anderen Worten, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$2 x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 y{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 2 x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 y{\left(x \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(2 x y{\left(x \right)}\right) = 2 x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 y{\left(x \right)}$$$.
Daher haben wir die folgende lineare Gleichung bezüglich der Ableitung erhalten: $$$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{dy}{dx} = 2 x \frac{dy}{dx} + 2 y$$$.
Beim Lösen ergibt sich, dass $$$\frac{dy}{dx} = \frac{3 x^{2} - 2 y}{2 x - 3 y^{2}}$$$.
Antwort
$$$\frac{dy}{dx} = \frac{3 x^{2} - 2 y}{2 x - 3 y^{2}}$$$A