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Rechner für logarithmische Differentiation

Berechne Ableitungen Schritt für Schritt mithilfe von Logarithmen

Der Online-Rechner berechnet die Ableitung einer beliebigen Funktion mittels logarithmischen Differenzierens und zeigt die einzelnen Schritte. Außerdem berechnet er bei Bedarf die Ableitung an der angegebenen Stelle.

Verwandter Rechner: Ableitungsrechner

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Bestimme $$$\frac{d}{dx} \left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right)$$$.

Lösung

Sei $$$H{\left(x \right)} = x^{\sin{\left(x \right)}}$$$.

Logarithmieren Sie beide Seiten: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right)$$$.

Schreibe die rechte Seite mithilfe der Logarithmengesetze um: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}$$$.

Leite beide Seiten der Gleichung getrennt ab: $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right)$$$.

Leite die linke Seite der Gleichung ab.

Die Funktion $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right)$$$ ist die Komposition $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ der beiden Funktionen $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ und $$$g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}$$$.

Wende die Kettenregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ an:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}$$

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)$$

Zurück zur ursprünglichen Variable:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}$$

Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}$$$.

Leite die rechte Seite der Gleichung ab.

Wende die Produktregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$f{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$ und $$$g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$$$ an:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) \sin{\left(x \right)} + \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)}$$

Die Ableitung des Sinus ist $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = \cos{\left(x \right)}$$$:

$$\ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)} + \sin{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \ln\left(x\right) {\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)} + \sin{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)$$

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:

$$\ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}$$

Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$$.

Somit gilt $$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$$.

Daher $$$\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(\ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) H{\left(x \right)} = x^{\sin{\left(x \right)} - 1} \left(x \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right).$$$

Antwort

$$$\frac{d}{dx} \left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right) = x^{\sin{\left(x \right)} - 1} \left(x \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)$$$A

Verwandter Hinweis: Logarithmic Differentiation