Rechner für logarithmische Differentiation
Berechne Ableitungen Schritt für Schritt mithilfe von Logarithmen
Der Online-Rechner berechnet die Ableitung einer beliebigen Funktion mittels logarithmischen Differenzierens und zeigt die einzelnen Schritte. Außerdem berechnet er bei Bedarf die Ableitung an der angegebenen Stelle.
Verwandter Rechner: Ableitungsrechner
Ihre Eingabe
Bestimme $$$\frac{d}{dx} \left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right)$$$.
Lösung
Sei $$$H{\left(x \right)} = x^{\sin{\left(x \right)}}$$$.
Logarithmieren Sie beide Seiten: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right)$$$.
Schreibe die rechte Seite mithilfe der Logarithmengesetze um: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}$$$.
Leite beide Seiten der Gleichung getrennt ab: $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right)$$$.
Leite die linke Seite der Gleichung ab.
Die Funktion $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right)$$$ ist die Komposition $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ der beiden Funktionen $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ und $$$g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}$$$.
Wende die Kettenregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}$$Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)$$Zurück zur ursprünglichen Variable:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}$$$.
Leite die rechte Seite der Gleichung ab.
Wende die Produktregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$f{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$ und $$$g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) \sin{\left(x \right)} + \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)}$$Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$$\ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}$$Die Ableitung des Sinus ist $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = \cos{\left(x \right)}$$$:
$$\ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} = \ln\left(x\right) {\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$$.
Somit gilt $$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$$.
Daher $$$\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(\ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) H{\left(x \right)} = x^{\sin{\left(x \right)} - 1} \left(x \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right).$$$
Antwort
$$$\frac{d}{dx} \left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right) = x^{\sin{\left(x \right)} - 1} \left(x \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)$$$A