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Ableitung von $$$\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$
Ähnliche Rechner: Rechner für logarithmische Differentiation, Rechner zur impliziten Differentiation mit Schritten
Ihre Eingabe
Bestimme $$$\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)$$$.
Lösung
Die Funktion $$$\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$ ist die Komposition $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ der beiden Funktionen $$$f{\left(u \right)} = \tan{\left(u \right)}$$$ und $$$g{\left(x \right)} = \frac{x}{2}$$$.
Wende die Kettenregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)\right)}$$Die Ableitung des Tangens ist $$$\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right) = \sec^{2}{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right) = {\color{red}\left(\sec^{2}{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)$$Zurück zur ursprünglichen Variable:
$$\sec^{2}{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right) = \sec^{2}{\left({\color{red}\left(\frac{x}{2}\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)$$Wende die Konstantenfaktorregel $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$c = \frac{1}{2}$$$ und $$$f{\left(x \right)} = x$$$ an:
$$\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)\right)} = \sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{\frac{d}{dx} \left(x\right)}{2}\right)}$$Wenden Sie die Potenzregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ mit $$$n = 1$$$ an, mit anderen Worten, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{2} = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} {\color{red}\left(1\right)}}{2}$$Vereinfachen:
$$\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = \frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1}$$$.
Antwort
$$$\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1}$$$A