Ableitung von $$$t \left(t - 1\right)$$$
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Ihre Eingabe
Bestimme $$$\frac{d}{dt} \left(t \left(t - 1\right)\right)$$$.
Lösung
Wende die Produktregel $$$\frac{d}{dt} \left(f{\left(t \right)} g{\left(t \right)}\right) = \frac{d}{dt} \left(f{\left(t \right)}\right) g{\left(t \right)} + f{\left(t \right)} \frac{d}{dt} \left(g{\left(t \right)}\right)$$$ mit $$$f{\left(t \right)} = t$$$ und $$$g{\left(t \right)} = t - 1$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t \left(t - 1\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right) \left(t - 1\right) + t \frac{d}{dt} \left(t - 1\right)\right)}$$Wenden Sie die Potenzregel $$$\frac{d}{dt} \left(t^{n}\right) = n t^{n - 1}$$$ mit $$$n = 1$$$ an, mit anderen Worten, $$$\frac{d}{dt} \left(t\right) = 1$$$:
$$t \frac{d}{dt} \left(t - 1\right) + \left(t - 1\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right)\right)} = t \frac{d}{dt} \left(t - 1\right) + \left(t - 1\right) {\color{red}\left(1\right)}$$Die Ableitung einer Summe/Differenz ist die Summe/Differenz der Ableitungen:
$$t {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t - 1\right)\right)} + t - 1 = t {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right) - \frac{d}{dt} \left(1\right)\right)} + t - 1$$Die Ableitung einer Konstante ist $$$0$$$:
$$t \left(- {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(1\right)\right)} + \frac{d}{dt} \left(t\right)\right) + t - 1 = t \left(- {\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dt} \left(t\right)\right) + t - 1$$Wenden Sie die Potenzregel $$$\frac{d}{dt} \left(t^{n}\right) = n t^{n - 1}$$$ mit $$$n = 1$$$ an, mit anderen Worten, $$$\frac{d}{dt} \left(t\right) = 1$$$:
$$t {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right)\right)} + t - 1 = t {\color{red}\left(1\right)} + t - 1$$Somit gilt $$$\frac{d}{dt} \left(t \left(t - 1\right)\right) = 2 t - 1$$$.
Antwort
$$$\frac{d}{dt} \left(t \left(t - 1\right)\right) = 2 t - 1$$$A