Ableitung von $$$\sqrt{x - 1}$$$

Die Funktion $$$\sqrt{x - 1}$$$ ist die Komposition $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ der beiden Funktionen $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$ und $$$g{\left(x \right)} = x - 1$$$.

Wende die Kettenregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ an:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x - 1}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right) \frac{d}{dx} \left(x - 1\right)\right)}$$

Wende die Potenzregel $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ mit $$$n = \frac{1}{2}$$$ an:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(x - 1\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)} \frac{d}{dx} \left(x - 1\right)$$

Zurück zur ursprünglichen Variable:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(x - 1\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(u\right)}}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(x - 1\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(x - 1\right)}}}$$

Die Ableitung einer Summe/Differenz ist die Summe/Differenz der Ableitungen:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x - 1\right)\right)}}{2 \sqrt{x - 1}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) - \frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{2 \sqrt{x - 1}}$$

Die Ableitung einer Konstante ist $$$0$$$:

$$\frac{- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(x\right)}{2 \sqrt{x - 1}} = \frac{- {\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dx} \left(x\right)}{2 \sqrt{x - 1}}$$

Wenden Sie die Potenzregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ mit $$$n = 1$$$ an, mit anderen Worten, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{2 \sqrt{x - 1}} = \frac{{\color{red}\left(1\right)}}{2 \sqrt{x - 1}}$$

Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x - 1}\right) = \frac{1}{2 \sqrt{x - 1}}$$$.