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Ableitung von $$$\sqrt{a^{x} - 1}$$$ nach $$$x$$$
Ähnliche Rechner: Rechner für logarithmische Differentiation, Rechner zur impliziten Differentiation mit Schritten
Ihre Eingabe
Bestimme $$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{a^{x} - 1}\right)$$$.
Lösung
Die Funktion $$$\sqrt{a^{x} - 1}$$$ ist die Komposition $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ der beiden Funktionen $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$ und $$$g{\left(x \right)} = a^{x} - 1$$$.
Wende die Kettenregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{a^{x} - 1}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right) \frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)\right)}$$Wende die Potenzregel $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ mit $$$n = \frac{1}{2}$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)} \frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)$$Zurück zur ursprünglichen Variable:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(u\right)}}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(a^{x} - 1\right)}}}$$Die Ableitung einer Summe/Differenz ist die Summe/Differenz der Ableitungen:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)\right)}}{2 \sqrt{a^{x} - 1}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x}\right) - \frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$Wende das Potenzgesetz $$$\frac{d}{dx} \left(n^{x}\right) = n^{x} \ln\left(n\right)$$$ mit $$$n = a$$$ an:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x}\right)\right)} - \frac{d}{dx} \left(1\right)}{2 \sqrt{a^{x} - 1}} = \frac{{\color{red}\left(a^{x} \ln\left(a\right)\right)} - \frac{d}{dx} \left(1\right)}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$Die Ableitung einer Konstante ist $$$0$$$:
$$\frac{a^{x} \ln\left(a\right) - {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{2 \sqrt{a^{x} - 1}} = \frac{a^{x} \ln\left(a\right) - {\color{red}\left(0\right)}}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{a^{x} - 1}\right) = \frac{a^{x} \ln\left(a\right)}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$$.
Antwort
$$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{a^{x} - 1}\right) = \frac{a^{x} \ln\left(a\right)}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$$A