Ableitung von $$$\ln\left(x^{2} - 2 x + 1\right)$$$

Die Funktion $$$\ln\left(x^{2} - 2 x + 1\right)$$$ ist die Komposition $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ der beiden Funktionen $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ und $$$g{\left(x \right)} = x^{2} - 2 x + 1$$$.

Wende die Kettenregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ an:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x^{2} - 2 x + 1\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(x^{2} - 2 x + 1\right)\right)}$$

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2} - 2 x + 1\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2} - 2 x + 1\right)$$

Zurück zur ursprünglichen Variable:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(x^{2} - 2 x + 1\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(x^{2} - 2 x + 1\right)}{{\color{red}\left(x^{2} - 2 x + 1\right)}}$$

Die Ableitung einer Summe/Differenz ist die Summe/Differenz der Ableitungen:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2} - 2 x + 1\right)\right)}}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right) - \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{x^{2} - 2 x + 1}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$c = 2$$$ und $$$f{\left(x \right)} = x$$$ an:

$$\frac{- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(1\right) + \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{- {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(1\right) + \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)}{x^{2} - 2 x + 1}$$

Wenden Sie die Potenzregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ mit $$$n = 1$$$ an, mit anderen Worten, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$\frac{- 2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(1\right) + \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{- 2 {\color{red}\left(1\right)} + \frac{d}{dx} \left(1\right) + \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)}{x^{2} - 2 x + 1}$$

Wende die Potenzregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ mit $$$n = 2$$$ an:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(1\right) - 2}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{{\color{red}\left(2 x\right)} + \frac{d}{dx} \left(1\right) - 2}{x^{2} - 2 x + 1}$$

Die Ableitung einer Konstante ist $$$0$$$:

$$\frac{2 x + {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} - 2}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{2 x + {\color{red}\left(0\right)} - 2}{x^{2} - 2 x + 1}$$

Vereinfachen:

$$\frac{2 x - 2}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{2}{x - 1}$$

Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x^{2} - 2 x + 1\right)\right) = \frac{2}{x - 1}$$$.