Ableitung von $$$\ln\left(\sqrt{x} + 2\right)$$$

Die Funktion $$$\ln\left(\sqrt{x} + 2\right)$$$ ist die Komposition $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ der beiden Funktionen $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ und $$$g{\left(x \right)} = \sqrt{x} + 2$$$.

Wende die Kettenregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ an:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\sqrt{x} + 2\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + 2\right)\right)}$$

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + 2\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + 2\right)$$

Zurück zur ursprünglichen Variable:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + 2\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + 2\right)}{{\color{red}\left(\sqrt{x} + 2\right)}}$$

Die Ableitung einer Summe/Differenz ist die Summe/Differenz der Ableitungen:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + 2\right)\right)}}{\sqrt{x} + 2} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right) + \frac{d}{dx} \left(2\right)\right)}}{\sqrt{x} + 2}$$

Die Ableitung einer Konstante ist $$$0$$$:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x} + 2} = \frac{{\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x} + 2}$$

Wende die Potenzregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ mit $$$n = \frac{1}{2}$$$ an:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)\right)}}{\sqrt{x} + 2} = \frac{{\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)}}{\sqrt{x} + 2}$$

Vereinfachen:

$$\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 2\right)} = \frac{1}{2 \left(2 \sqrt{x} + x\right)}$$

Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\sqrt{x} + 2\right)\right) = \frac{1}{2 \left(2 \sqrt{x} + x\right)}$$$.