Ableitung von $$$\ln\left(6 x^{4}\right)$$$
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Ihre Eingabe
Bestimme $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(6 x^{4}\right)\right)$$$.
Lösung
Die Funktion $$$\ln\left(6 x^{4}\right)$$$ ist die Komposition $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ der beiden Funktionen $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ und $$$g{\left(x \right)} = 6 x^{4}$$$.
Wende die Kettenregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(6 x^{4}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(6 x^{4}\right)\right)}$$Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(6 x^{4}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(6 x^{4}\right)$$Zurück zur ursprünglichen Variable:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(6 x^{4}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(6 x^{4}\right)}{{\color{red}\left(6 x^{4}\right)}}$$Wende die Konstantenfaktorregel $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$c = 6$$$ und $$$f{\left(x \right)} = x^{4}$$$ an:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(6 x^{4}\right)\right)}}{6 x^{4}} = \frac{{\color{red}\left(6 \frac{d}{dx} \left(x^{4}\right)\right)}}{6 x^{4}}$$Wende die Potenzregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ mit $$$n = 4$$$ an:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{4}\right)\right)}}{x^{4}} = \frac{{\color{red}\left(4 x^{3}\right)}}{x^{4}}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(6 x^{4}\right)\right) = \frac{4}{x}$$$.
Antwort
$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(6 x^{4}\right)\right) = \frac{4}{x}$$$A