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Ableitung von $$$\ln\left(\frac{2}{x}\right)$$$
Ähnliche Rechner: Rechner für logarithmische Differentiation, Rechner zur impliziten Differentiation mit Schritten
Ihre Eingabe
Bestimme $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\frac{2}{x}\right)\right)$$$.
Lösung
Die Funktion $$$\ln\left(\frac{2}{x}\right)$$$ ist die Komposition $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ der beiden Funktionen $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ und $$$g{\left(x \right)} = \frac{2}{x}$$$.
Wende die Kettenregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\frac{2}{x}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(\frac{2}{x}\right)\right)}$$Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{2}{x}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{2}{x}\right)$$Zurück zur ursprünglichen Variable:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(\frac{2}{x}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(\frac{2}{x}\right)}{{\color{red}\left(\frac{2}{x}\right)}}$$Wende die Konstantenfaktorregel $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$c = 2$$$ und $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$ an:
$$\frac{x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{2}{x}\right)\right)}}{2} = \frac{x {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)}}{2}$$Wende die Potenzregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ mit $$$n = -1$$$ an:
$$x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)} = x {\color{red}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\frac{2}{x}\right)\right) = - \frac{1}{x}$$$.
Antwort
$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\frac{2}{x}\right)\right) = - \frac{1}{x}$$$A