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Ableitung von $$$\ln\left(1 - x\right)$$$
Ähnliche Rechner: Rechner für logarithmische Differentiation, Rechner zur impliziten Differentiation mit Schritten
Ihre Eingabe
Bestimme $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(1 - x\right)\right)$$$.
Lösung
Die Funktion $$$\ln\left(1 - x\right)$$$ ist die Komposition $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ der beiden Funktionen $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ und $$$g{\left(x \right)} = 1 - x$$$.
Wende die Kettenregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(1 - x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(1 - x\right)\right)}$$Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(1 - x\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(1 - x\right)$$Zurück zur ursprünglichen Variable:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(1 - x\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(1 - x\right)}{{\color{red}\left(1 - x\right)}}$$Die Ableitung einer Summe/Differenz ist die Summe/Differenz der Ableitungen:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1 - x\right)\right)}}{1 - x} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right) - \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{1 - x}$$Die Ableitung einer Konstante ist $$$0$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} - \frac{d}{dx} \left(x\right)}{1 - x} = \frac{{\color{red}\left(0\right)} - \frac{d}{dx} \left(x\right)}{1 - x}$$Wenden Sie die Potenzregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ mit $$$n = 1$$$ an, mit anderen Worten, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$- \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{1 - x} = - \frac{{\color{red}\left(1\right)}}{1 - x}$$Vereinfachen:
$$- \frac{1}{1 - x} = \frac{1}{x - 1}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(1 - x\right)\right) = \frac{1}{x - 1}$$$.
Antwort
$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(1 - x\right)\right) = \frac{1}{x - 1}$$$A