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Ableitung von $$$e^{x y z}$$$ nach $$$z$$$
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Ihre Eingabe
Bestimme $$$\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right)$$$.
Lösung
Die Funktion $$$e^{x y z}$$$ ist die Komposition $$$f{\left(g{\left(z \right)} \right)}$$$ der beiden Funktionen $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ und $$$g{\left(z \right)} = x y z$$$.
Wende die Kettenregel $$$\frac{d}{dz} \left(f{\left(g{\left(z \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dz} \left(g{\left(z \right)}\right)$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dz} \left(x y z\right)\right)}$$Die Ableitung der Exponentialfunktion ist $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dz} \left(x y z\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dz} \left(x y z\right)$$Zurück zur ursprünglichen Variable:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dz} \left(x y z\right) = e^{{\color{red}\left(x y z\right)}} \frac{d}{dz} \left(x y z\right)$$Wende die Konstantenfaktorregel $$$\frac{d}{dz} \left(c f{\left(z \right)}\right) = c \frac{d}{dz} \left(f{\left(z \right)}\right)$$$ mit $$$c = x y$$$ und $$$f{\left(z \right)} = z$$$ an:
$$e^{x y z} {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(x y z\right)\right)} = e^{x y z} {\color{red}\left(x y \frac{d}{dz} \left(z\right)\right)}$$Wenden Sie die Potenzregel $$$\frac{d}{dz} \left(z^{n}\right) = n z^{n - 1}$$$ mit $$$n = 1$$$ an, mit anderen Worten, $$$\frac{d}{dz} \left(z\right) = 1$$$:
$$x y e^{x y z} {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(z\right)\right)} = x y e^{x y z} {\color{red}\left(1\right)}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right) = x y e^{x y z}$$$.
Antwort
$$$\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right) = x y e^{x y z}$$$A