Ableitung von $$$e^{- x} \sin{\left(x \right)}$$$ an der Stelle $$$x = c$$$
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Ihre Eingabe
Bestimmen Sie $$$\frac{d}{dx} \left(e^{- x} \sin{\left(x \right)}\right)$$$ und werten Sie es an der Stelle $$$x = c$$$ aus.
Lösung
Wende die Produktregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$ und $$$g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{- x} \sin{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{- x}\right) \sin{\left(x \right)} + e^{- x} \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)}$$Die Ableitung des Sinus ist $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = \cos{\left(x \right)}$$$:
$$\sin{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(e^{- x}\right) + e^{- x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)} = \sin{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(e^{- x}\right) + e^{- x} {\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)}$$Die Funktion $$$e^{- x}$$$ ist die Komposition $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ der beiden Funktionen $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ und $$$g{\left(x \right)} = - x$$$.
Wende die Kettenregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ an:
$$\sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{- x}\right)\right)} + e^{- x} \cos{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(- x\right)\right)} + e^{- x} \cos{\left(x \right)}$$Die Ableitung der Exponentialfunktion ist $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$$\sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} \cos{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} \cos{\left(x \right)}$$Zurück zur ursprünglichen Variable:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \sin{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} \cos{\left(x \right)} = e^{{\color{red}\left(- x\right)}} \sin{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} \cos{\left(x \right)}$$Wende die Konstantenfaktorregel $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$c = -1$$$ und $$$f{\left(x \right)} = x$$$ an:
$$e^{- x} \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- x\right)\right)} + e^{- x} \cos{\left(x \right)} = e^{- x} \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(- \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + e^{- x} \cos{\left(x \right)}$$Wenden Sie die Potenzregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ mit $$$n = 1$$$ an, mit anderen Worten, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$- e^{- x} \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + e^{- x} \cos{\left(x \right)} = - e^{- x} \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(1\right)} + e^{- x} \cos{\left(x \right)}$$Vereinfachen:
$$- e^{- x} \sin{\left(x \right)} + e^{- x} \cos{\left(x \right)} = \sqrt{2} e^{- x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(e^{- x} \sin{\left(x \right)}\right) = \sqrt{2} e^{- x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$$.
Werten Sie schließlich die Ableitung an der Stelle $$$x = c$$$ aus.
$$$\left(\frac{d}{dx} \left(e^{- x} \sin{\left(x \right)}\right)\right)|_{\left(x = c\right)} = \sqrt{2} e^{- c} \cos{\left(c + \frac{\pi}{4} \right)}$$$
Antwort
$$$\frac{d}{dx} \left(e^{- x} \sin{\left(x \right)}\right) = \sqrt{2} e^{- x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$$A
$$$\left(\frac{d}{dx} \left(e^{- x} \sin{\left(x \right)}\right)\right)|_{\left(x = c\right)} = \sqrt{2} e^{- c} \cos{\left(c + \frac{\pi}{4} \right)}\approx 1.414213562373095 e^{- c} \cos{\left(c + \frac{\pi}{4} \right)}$$$A