Ableitung von $$$e^{- 8 x^{4}}$$$
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Ihre Eingabe
Bestimme $$$\frac{d}{dx} \left(e^{- 8 x^{4}}\right)$$$.
Lösung
Die Funktion $$$e^{- 8 x^{4}}$$$ ist die Komposition $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ der beiden Funktionen $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ und $$$g{\left(x \right)} = - 8 x^{4}$$$.
Wende die Kettenregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{- 8 x^{4}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(- 8 x^{4}\right)\right)}$$Die Ableitung der Exponentialfunktion ist $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(- 8 x^{4}\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(- 8 x^{4}\right)$$Zurück zur ursprünglichen Variable:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(- 8 x^{4}\right) = e^{{\color{red}\left(- 8 x^{4}\right)}} \frac{d}{dx} \left(- 8 x^{4}\right)$$Wende die Konstantenfaktorregel $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$c = -8$$$ und $$$f{\left(x \right)} = x^{4}$$$ an:
$$e^{- 8 x^{4}} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- 8 x^{4}\right)\right)} = e^{- 8 x^{4}} {\color{red}\left(- 8 \frac{d}{dx} \left(x^{4}\right)\right)}$$Wende die Potenzregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ mit $$$n = 4$$$ an:
$$- 8 e^{- 8 x^{4}} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{4}\right)\right)} = - 8 e^{- 8 x^{4}} {\color{red}\left(4 x^{3}\right)}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(e^{- 8 x^{4}}\right) = - 32 x^{3} e^{- 8 x^{4}}$$$.
Antwort
$$$\frac{d}{dx} \left(e^{- 8 x^{4}}\right) = - 32 x^{3} e^{- 8 x^{4}}$$$A