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Ableitung von $$$e^{- \frac{1}{x}}$$$
Ähnliche Rechner: Rechner für logarithmische Differentiation, Rechner zur impliziten Differentiation mit Schritten
Ihre Eingabe
Bestimme $$$\frac{d}{dx} \left(e^{- \frac{1}{x}}\right)$$$.
Lösung
Die Funktion $$$e^{- \frac{1}{x}}$$$ ist die Komposition $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ der beiden Funktionen $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ und $$$g{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$$.
Wende die Kettenregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{- \frac{1}{x}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(- \frac{1}{x}\right)\right)}$$Die Ableitung der Exponentialfunktion ist $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(- \frac{1}{x}\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(- \frac{1}{x}\right)$$Zurück zur ursprünglichen Variable:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(- \frac{1}{x}\right) = e^{{\color{red}\left(- \frac{1}{x}\right)}} \frac{d}{dx} \left(- \frac{1}{x}\right)$$Wende die Konstantenfaktorregel $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$c = -1$$$ und $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$ an:
$$e^{- \frac{1}{x}} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- \frac{1}{x}\right)\right)} = e^{- \frac{1}{x}} {\color{red}\left(- \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)}$$Wende die Potenzregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ mit $$$n = -1$$$ an:
$$- e^{- \frac{1}{x}} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)} = - e^{- \frac{1}{x}} {\color{red}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(e^{- \frac{1}{x}}\right) = \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$$$.
Antwort
$$$\frac{d}{dx} \left(e^{- \frac{1}{x}}\right) = \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$$$A