Ableitung von $$$a^{\sqrt{x}}$$$ nach $$$x$$$
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Ihre Eingabe
Bestimme $$$\frac{d}{dx} \left(a^{\sqrt{x}}\right)$$$.
Lösung
Die Funktion $$$a^{\sqrt{x}}$$$ ist die Komposition $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ der beiden Funktionen $$$f{\left(u \right)} = a^{u}$$$ und $$$g{\left(x \right)} = \sqrt{x}$$$.
Wende die Kettenregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{\sqrt{x}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(a^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)\right)}$$Wende das Potenzgesetz $$$\frac{d}{du} \left(n^{u}\right) = n^{u} \ln\left(n\right)$$$ mit $$$n = a$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(a^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right) = {\color{red}\left(a^{u} \ln\left(a\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)$$Zurück zur ursprünglichen Variable:
$$a^{{\color{red}\left(u\right)}} \ln\left(a\right) \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right) = a^{{\color{red}\left(\sqrt{x}\right)}} \ln\left(a\right) \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)$$Wende die Potenzregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ mit $$$n = \frac{1}{2}$$$ an:
$$a^{\sqrt{x}} \ln\left(a\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)\right)} = a^{\sqrt{x}} \ln\left(a\right) {\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(a^{\sqrt{x}}\right) = \frac{a^{\sqrt{x}} \ln\left(a\right)}{2 \sqrt{x}}$$$.
Antwort
$$$\frac{d}{dx} \left(a^{\sqrt{x}}\right) = \frac{a^{\sqrt{x}} \ln\left(a\right)}{2 \sqrt{x}}$$$A