Eigenschaften des Kreises $$$\left(x + 9\right)^{2} + \left(y - 6\right)^{2} = 102$$$

Bestimme den Mittelpunkt, den Radius, den Durchmesser, den Umfang, die Fläche, die Exzentrizität, die lineare Exzentrizität, die x-Achsenabschnitte, die y-Achsenabschnitte, die Definitionsmenge und die Wertemenge des Kreises $$$\left(x + 9\right)^{2} + \left(y - 6\right)^{2} = 102$$$.

Die Standardform der Kreisgleichung ist $$$\left(x - h\right)^{2} + \left(y - k\right)^{2} = r^{2}$$$, wobei $$$\left(h, k\right)$$$ der Mittelpunkt des Kreises und $$$r$$$ der Radius ist.

Unser Kreis in dieser Form lautet $$$\left(x - \left(-9\right)\right)^{2} + \left(y - 6\right)^{2} = \left(\sqrt{102}\right)^{2}$$$.

Somit gilt $$$h = -9$$$, $$$k = 6$$$, $$$r = \sqrt{102}$$$.

Die Normalform lautet $$$\left(x + 9\right)^{2} + \left(y - 6\right)^{2} = 102$$$.

Die allgemeine Form erhält man, indem man alles auf die linke Seite bringt und (falls nötig) ausmultipliziert: $$$x^{2} + 18 x + y^{2} - 12 y + 15 = 0$$$.

Mittelpunkt: $$$\left(-9, 6\right)$$$.

Radius: $$$r = \sqrt{102}$$$.

Durchmesser: $$$d = 2 r = 2 \sqrt{102}$$$.

Umfang: $$$C = 2 \pi r = 2 \sqrt{102} \pi$$$.

Flächeninhalt: $$$A = \pi r^{2} = 102 \pi$$$.

Sowohl die Exzentrizität als auch die lineare Exzentrizität eines Kreises betragen $$$0$$$.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse lassen sich finden, indem man $$$y = 0$$$ in die Gleichung einsetzt und nach $$$x$$$ auflöst (für die Schritte siehe Achsenabschnitt-Rechner).

Schnittpunkte mit der x-Achse: $$$\left(-9 - \sqrt{66}, 0\right)$$$, $$$\left(-9 + \sqrt{66}, 0\right)$$$

Die y-Achsenabschnitte findet man, indem man $$$x = 0$$$ in die Gleichung einsetzt und nach $$$y$$$ auflöst: (für die Schritte siehe Achsenabschnittsrechner).

y-Achsenabschnitte: $$$\left(0, 6 - \sqrt{21}\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{21} + 6\right)$$$

Der Definitionsbereich ist $$$\left[h - r, h + r\right] = \left[- \sqrt{102} - 9, -9 + \sqrt{102}\right]$$$.

Der Wertebereich ist $$$\left[k - r, k + r\right] = \left[6 - \sqrt{102}, 6 + \sqrt{102}\right]$$$.

Standardform/Gleichung: $$$\left(x + 9\right)^{2} + \left(y - 6\right)^{2} = 102$$$A.

Allgemeine Form/Gleichung: $$$x^{2} + 18 x + y^{2} - 12 y + 15 = 0$$$A.

Graph: Siehe den Grafikrechner.

Mittelpunkt: $$$\left(-9, 6\right)$$$A.

Radius: $$$\sqrt{102}\approx 10.099504938362078$$$A.

Durchmesser: $$$2 \sqrt{102}\approx 20.199009876724156$$$A.

Umfang: $$$2 \sqrt{102} \pi\approx 63.457061038504283$$$A.

Flächeninhalt: $$$102 \pi\approx 320.44245066615891$$$A.

Exzentrizität: $$$0$$$A.

Lineare Exzentrizität: $$$0$$$A.

x-Achsenschnittpunkte: $$$\left(-9 - \sqrt{66}, 0\right)\approx \left(-17.12403840463596, 0\right)$$$, $$$\left(-9 + \sqrt{66}, 0\right)\approx \left(-0.87596159536404, 0\right)$$$A.

y-Achsenabschnitte: $$$\left(0, 6 - \sqrt{21}\right)\approx \left(0, 1.41742430504416\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{21} + 6\right)\approx \left(0, 10.58257569495584\right)$$$A.

Definitionsbereich: $$$\left[- \sqrt{102} - 9, -9 + \sqrt{102}\right]\approx \left[-19.099504938362078, 1.099504938362078\right].$$$A

Wertebereich: $$$\left[6 - \sqrt{102}, 6 + \sqrt{102}\right]\approx \left[-4.099504938362078, 16.099504938362078\right].$$$A