Hyperbel-Rechner

Dieser Rechner findet entweder die Hyperbelgleichung aus den gegebenen Parametern oder das Zentrum, Brennpunkte, Scheitelpunkte, Ko-Scheitelpunkte, (Halb-)Hauptachsenlänge, (Halb-)Nebenachsenlänge, Latera recta, Länge der Latera recta, Fokal Parameter, Brennweite, Exzentrizität, lineare Exzentrizität, Richtungen, Asymptoten, x-Achsenabschnitte, y-Achsenabschnitte, Domäne und Bereich der eingegebenen Hyperbel. Außerdem wird die Hyperbel grafisch dargestellt. Schritte sind verfügbar.

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Finden Sie das Zentrum, Brennpunkte, Scheitel, Ko-Scheitel, Hauptachsenlänge, Hauptachsenlänge, Nebenachsenlänge, Nebenachsenlänge, Latera recta, Länge der Latera recta, Fokusparameter, Brennweite, Exzentrizität, linear Exzentrizität, Richtungen, Asymptoten, x-Achsenabschnitte, y-Achsenabschnitte, Domäne und Reichweite der Hyperbel $$$x^{2} - 4 y^{2} = 36$$$.

Lösung

Die Gleichung einer Hyperbel ist $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} - \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$, wobei $$$\left(h, k\right)$$$ der Mittelpunkt ist, $$$a$$$ und $$$b$$$ die Längen der großen Halbachse und der kleinen Halbachse sind.

Unsere Hyperbel in dieser Form ist $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{36} - \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{9} = 1$$$.

Also $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 6$$$, $$$b = 3$$$.

Das Standardformular ist $$$\frac{x^{2}}{6^{2}} - \frac{y^{2}}{3^{2}} = 1$$$.

Die Scheitelpunktform ist $$$\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{9} = 1$$$.

Die allgemeine Form ist $$$x^{2} - 4 y^{2} - 36 = 0$$$.

Die lineare Exzentrizität beträgt $$$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 3 \sqrt{5}$$$.

Die Exzentrizität ist $$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$$.

Der erste Fokus ist $$$\left(h - c, k\right) = \left(- 3 \sqrt{5}, 0\right)$$$.

Der zweite Schwerpunkt ist $$$\left(h + c, k\right) = \left(3 \sqrt{5}, 0\right)$$$.

Der erste Scheitelpunkt ist $$$\left(h - a, k\right) = \left(-6, 0\right)$$$.

Der zweite Scheitelpunkt ist $$$\left(h + a, k\right) = \left(6, 0\right)$$$.

Der erste Ko-Scheitelpunkt ist der $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -3\right)$$$.

Der zweite Ko-Scheitelpunkt ist der $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 3\right)$$$.

Die Länge der Hauptachse beträgt $$$2 a = 12$$$.

Die Länge der Nebenachse beträgt $$$2 b = 6$$$.

Der Fokusparameter ist der Abstand zwischen Fokus und Leitlinie: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$$$.

Die Latera recta sind die parallel zur Nebenachse verlaufenden Linien, die durch die Brennpunkte verlaufen.

Der erste Latus rectum ist die $$$x = - 3 \sqrt{5}$$$.

Der zweite Latus Rectum ist die $$$x = 3 \sqrt{5}$$$.

Die Länge der Latera recta beträgt $$$\frac{2 b^{2}}{a} = 3$$$

Die erste Leitlinie ist die $$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = - \frac{12 \sqrt{5}}{5}$$$.

Die zweite Leitlinie ist die $$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{12 \sqrt{5}}{5}$$$.

Die erste Asymptote ist die $$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - \frac{x}{2}$$$.

Die zweite Asymptote ist die $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = \frac{x}{2}$$$.

Die x-Achsenabschnitte können durch Setzen von $$$y = 0$$$ in die Gleichung und Auflösen nach $$$x$$$ (Schritte siehe Achsenabschnittsrechner).

x-Achsenabschnitte: $$$\left(-6, 0\right)$$$, $$$\left(6, 0\right)$$$

Die y-Achsenabschnitte können durch Setzen von $$$x = 0$$$ in die Gleichung und Auflösen nach $$$y$$$: (Schritte siehe Achsenabschnittsrechner).

y-Achsenabschnitte: $$$\left(0, -3\right)$$$, $$$\left(0, 3\right)$$$

Antwort

Standardform: $$$\frac{x^{2}}{6^{2}} - \frac{y^{2}}{3^{2}} = 1$$$A.

Scheitelpunktform: $$$\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{9} = 1$$$A.

Allgemeine Form: $$$x^{2} - 4 y^{2} - 36 = 0$$$A.

Erste Fokus-Directrix-Form: $$$\left(x + 3 \sqrt{5}\right)^{2} + y^{2} = \frac{5 \left(x + \frac{12 \sqrt{5}}{5}\right)^{2}}{4}$$$A.

Zweite Fokus-Directrix-Form: $$$\left(x - 3 \sqrt{5}\right)^{2} + y^{2} = \frac{5 \left(x - \frac{12 \sqrt{5}}{5}\right)^{2}}{4}$$$A.

Grafik: siehe Grafikrechner.

Mitte: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Erster Fokus: $$$\left(- 3 \sqrt{5}, 0\right)\approx \left(-6.708203932499369, 0\right)$$$A.

Zweiter Schwerpunkt: $$$\left(3 \sqrt{5}, 0\right)\approx \left(6.708203932499369, 0\right)$$$A.

Erster Scheitelpunkt: $$$\left(-6, 0\right)$$$A.

Zweiter Scheitelpunkt: $$$\left(6, 0\right)$$$A.

Erster Ko-Scheitel: $$$\left(0, -3\right)$$$A.

Zweiter Ko-Scheitel: $$$\left(0, 3\right)$$$A.

Länge der Hauptachse (Querachse): $$$12$$$A.

Länge der Haupthalbachse: $$$6$$$A.

Länge der Nebenachse (konjugiert): $$$6$$$A.

Länge der Nebenachse: $$$3$$$A.

Erster Latus Rektum: $$$x = - 3 \sqrt{5}\approx -6.708203932499369$$$A.

Zweiter Latus Rectum: $$$x = 3 \sqrt{5}\approx 6.708203932499369$$$A.

Länge der Latera recta: $$$3$$$A.

Fokusparameter: $$$\frac{3 \sqrt{5}}{5}\approx 1.341640786499874$$$A.

Exzentrizität: $$$\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1.118033988749895$$$A.

Lineare Exzentrizität: $$$3 \sqrt{5}\approx 6.708203932499369$$$A.

Erste Leitlinie: $$$x = - \frac{12 \sqrt{5}}{5}\approx -5.366563145999495$$$A.

Zweite Leitlinie: $$$x = \frac{12 \sqrt{5}}{5}\approx 5.366563145999495$$$A.

Erste Asymptote: $$$y = - \frac{x}{2} = - 0.5 x$$$A.

Zweite Asymptote: $$$y = \frac{x}{2} = 0.5 x$$$A.

x-Achsenabschnitte: $$$\left(-6, 0\right)$$$, $$$\left(6, 0\right)$$$A

y-Achsenabschnitte: $$$\left(0, -3\right)$$$, $$$\left(0, 3\right)$$$A

Domäne: $$$\left(-\infty, -6\right] \cup \left[6, \infty\right)$$$A.

Reichweite: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.