Parabelrechner

Bestimme den Scheitelpunkt, den Brennpunkt, die Direktrix, die Symmetrieachse, das Latus rectum, die Länge des Latus rectum (Fokalbreite), den Fokalparameter, die Brennweite, die Exzentrizität, die x-Achsenabschnitte, die y-Achsenabschnitte, den Definitionsbereich und den Wertebereich der Parabel $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$.

Die Gleichung einer Parabel lautet $$$y = \frac{1}{4 \left(f - k\right)} \left(x - h\right)^{2} + k$$$, wobei $$$\left(h, k\right)$$$ der Scheitelpunkt und $$$\left(h, f\right)$$$ der Brennpunkt sind.

Unsere Parabel hat in dieser Form die Gleichung $$$y = \frac{1}{4 \left(\frac{21}{4} - 5\right)} \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$.

Somit gilt $$$h = 2$$$, $$$k = 5$$$, $$$f = \frac{21}{4}$$$.

Die Normalform lautet $$$y = x^{2} - 4 x + 9$$$.

Die allgemeine Form ist $$$x^{2} - 4 x - y + 9 = 0$$$.

Die Scheitelpunktform ist $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$.

Die Direktrix ist $$$y = d$$$.

Um $$$d$$$ zu finden, verwenden Sie die Tatsache, dass der Abstand vom Brennpunkt zum Scheitelpunkt gleich dem Abstand vom Scheitelpunkt zur Leitlinie ist: $$$5 - \frac{21}{4} = d - 5$$$.

Somit ist die Leitgerade $$$y = \frac{19}{4}$$$.

Die Symmetrieachse ist die zur Leitlinie senkrechte Gerade, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft: $$$x = 2$$$.

Die Brennweite ist der Abstand zwischen dem Brennpunkt und dem Scheitelpunkt: $$$\frac{1}{4}$$$.

Der Brennparameter ist der Abstand zwischen dem Brennpunkt und der Leitlinie: $$$\frac{1}{2}$$$.

Das Latus rectum ist zur Leitlinie parallel und verläuft durch den Brennpunkt: $$$y = \frac{21}{4}$$$.

Die Endpunkte des Latus rectum können durch Lösen des Systems $$$\begin{cases} x^{2} - 4 x - y + 9 = 0 \\ y = \frac{21}{4} \end{cases}$$$ gefunden werden (für die Schritte siehe Gleichungssystem-Rechner).

Die Endpunkte des Latus rectums sind $$$\left(\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right)$$$, $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right)$$$.

Die Länge des Latus rectum (Fokalbreite) beträgt das Vierfache des Abstands zwischen Scheitel und Brennpunkt: $$$1$$$.

Die Exzentrizität einer Parabel ist immer $$$1$$$.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse lassen sich finden, indem man $$$y = 0$$$ in die Gleichung einsetzt und nach $$$x$$$ auflöst (für die Schritte siehe Achsenabschnitt-Rechner).

Da es keine reellen Lösungen gibt, gibt es keine x-Achsenabschnitte.

Die y-Achsenabschnitte findet man, indem man $$$x = 0$$$ in die Gleichung einsetzt und nach $$$y$$$ auflöst: (für die Schritte siehe Achsenabschnittsrechner).

y-Achsenabschnitt: $$$\left(0, 9\right)$$$.

Standardform/Gleichung: $$$y = x^{2} - 4 x + 9$$$A.

Allgemeine Form/Gleichung: $$$x^{2} - 4 x - y + 9 = 0$$$A.

Scheitelpunktform/-gleichung: $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$A.

Brennpunkt-Leitgerade-Form/Gleichung: $$$\left(x - 2\right)^{2} + \left(y - \frac{21}{4}\right)^{2} = \left(y - \frac{19}{4}\right)^{2}$$$A.

Graph: Siehe den Grafikrechner.

Scheitelpunkt: $$$\left(2, 5\right)$$$A.

Brennpunkt: $$$\left(2, \frac{21}{4}\right) = \left(2, 5.25\right)$$$A.

Leitlinie: $$$y = \frac{19}{4} = 4.75$$$A.

Symmetrieachse: $$$x = 2$$$A.

Latus rectum: $$$y = \frac{21}{4} = 5.25$$$A.

Endpunkte des Latus rectums: $$$\left(\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right) = \left(1.5, 5.25\right)$$$, $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right) = \left(2.5, 5.25\right)$$$A.

Länge der Leitstrecke (Fokalbreite): $$$1$$$A.

Leitparameter: $$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A.

Brennweite: $$$\frac{1}{4} = 0.25$$$A.

Exzentrizität: $$$1$$$A.

x-Achsenschnittpunkte: Keine Schnittpunkte mit der x-Achse.

y-Achsenabschnitt: $$$\left(0, 9\right)$$$A.

Definitionsbereich: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

Wertebereich: $$$\left[5, \infty\right)$$$A.