Parabel-Rechner

Dieser Rechner findet entweder die Parabelgleichung aus den gegebenen Parametern oder den Scheitelpunkt, Brennpunkt, Leitlinie, Symmetrieachse, Mastdarm, Länge des Mastdarms, Fokusparameter, Brennweite (Entfernung), Exzentrizität, x-Achsenabschnitte, y-Achsenabschnitte, Bereich und Bereich der eingegebenen Parabel. Außerdem wird die Parabel grafisch dargestellt. Schritte sind verfügbar.

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Ermitteln Sie Scheitelpunkt, Fokus, Leitlinie, Symmetrieachse, Latus rectum, Länge des Latus rectum, Fokusparameter, Brennweite, Exzentrizität, x-Achsen-Achsen-Achsen-Achsen-Achsenabschnitt, Domäne und Bereich der Parabel $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$.

Lösung

Die Gleichung einer Parabel ist $$$y = \frac{1}{4 \left(f - k\right)} \left(x - h\right)^{2} + k$$$, wobei $$$\left(h, k\right)$$$ der Scheitelpunkt und $$$\left(h, f\right)$$$ der Brennpunkt ist.

Unsere Parabel in dieser Form ist die $$$y = \frac{1}{4 \left(\frac{21}{4} - 5\right)} \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$.

Also $$$h = 2$$$, $$$k = 5$$$, $$$f = \frac{21}{4}$$$.

Das Standardformular ist $$$y = x^{2} - 4 x + 9$$$.

Die allgemeine Form ist $$$x^{2} - 4 x - y + 9 = 0$$$.

Die Scheitelpunktform ist $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$.

Die Leitlinie ist $$$y = d$$$.

$$$d$$$ zu finden, verwenden Sie die Tatsache, dass der Abstand vom Brennpunkt zum Scheitelpunkt gleich dem Abstand vom Scheitelpunkt zur Leitlinie ist: $$$5 - \frac{21}{4} = d - 5$$$.

Somit ist die Leitlinie $$$y = \frac{19}{4}$$$.

Die Symmetrieachse ist die Linie senkrecht zur Leitlinie, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt geht: $$$x = 2$$$.

Die Brennweite ist der Abstand zwischen Fokus und Scheitelpunkt: $$$\frac{1}{4}$$$.

Der Fokusparameter ist der Abstand zwischen Fokus und Leitlinie: $$$\frac{1}{2}$$$.

Der Latus rectum ist parallel zur Leitlinie und geht durch den Fokus: $$$y = \frac{21}{4}$$$.

Die Länge des Latus rectum beträgt das Vierfache des Abstands zwischen Scheitelpunkt und Fokus: $$$1$$$.

Die Exzentrizität einer Parabel ist immer $$$1$$$.

Die x-Achsenabschnitte können durch Setzen von $$$y = 0$$$ in die Gleichung und Auflösen nach $$$x$$$ (Schritte siehe Achsenabschnittsrechner).

Da es keine echten Lösungen gibt, gibt es keine x-Achsenabschnitte.

Die y-Achsenabschnitte können durch Setzen von $$$x = 0$$$ in die Gleichung und Auflösen nach $$$y$$$: (Schritte siehe Achsenabschnittsrechner).

y-Achsenabschnitt: $$$\left(0, 9\right)$$$.

Antwort

Standardform: $$$y = x^{2} - 4 x + 9$$$A.

Allgemeine Form: $$$x^{2} - 4 x - y + 9 = 0$$$A.

Scheitelpunktform: $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$A.

Fokus-Directrix-Form: $$$\left(x - 2\right)^{2} + \left(y - \frac{21}{4}\right)^{2} = \left(y - \frac{19}{4}\right)^{2}$$$A.

Grafik: siehe Grafikrechner.

Scheitelpunkt: $$$\left(2, 5\right)$$$A.

Fokus: $$$\left(2, \frac{21}{4}\right) = \left(2, 5.25\right)$$$A.

Directrix: $$$y = \frac{19}{4} = 4.75$$$A.

Symmetrieachse: $$$x = 2$$$A.

Latus Rektum: $$$y = \frac{21}{4} = 5.25$$$A.

Länge des Latus rectum: $$$1$$$A.

Fokusparameter: $$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A.

Brennweite: $$$\frac{1}{4} = 0.25$$$A.

Exzentrizität: $$$1$$$A.

x-Achsenabschnitte: keine x-Schnittpunkte

y-Achsenabschnitt: $$$\left(0, 9\right)$$$A.

Domäne: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

Reichweite: $$$\left[5, \infty\right)$$$A.