$$$\frac{u}{v}$$$ 對 $$$u$$$ 的積分

求$$$\int \frac{u}{v}\, du$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{v}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = u$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{u}{v} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{u d u}}{v}}}$$

套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=1$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{u d u}}}}{v}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{v}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{2}}{2}\right)}}}{v}$$

因此，

$$\int{\frac{u}{v} d u} = \frac{u^{2}}{2 v}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{u}{v} d u} = \frac{u^{2}}{2 v}+C$$

$$$\int \frac{u}{v}\, du = \frac{u^{2}}{2 v} + C$$$A