$$$\frac{u}{v}$$$ の $$$u$$$ に関する積分

$$$\int \frac{u}{v}\, du$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{v}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{u}{v} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{u d u}}{v}}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{{\color{red}{\int{u d u}}}}{v}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{v}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{2}}{2}\right)}}}{v}$$

したがって、

$$\int{\frac{u}{v} d u} = \frac{u^{2}}{2 v}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{u}{v} d u} = \frac{u^{2}}{2 v}+C$$

$$$\int \frac{u}{v}\, du = \frac{u^{2}}{2 v} + C$$$A