|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Integralen av $$$\frac{u}{v}$$$ med avseende på $$$u$$$
Relaterad kalkylator: Kalkylator för bestämda och oegentliga integraler
Din inmatning
Bestäm $$$\int \frac{u}{v}\, du$$$.
Lösning
Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=\frac{1}{v}$$$ och $$$f{\left(u \right)} = u$$$:
$${\color{red}{\int{\frac{u}{v} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{u d u}}{v}}}$$
Tillämpa potensregeln $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ med $$$n=1$$$:
$$\frac{{\color{red}{\int{u d u}}}}{v}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{v}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{2}}{2}\right)}}}{v}$$
Alltså,
$$\int{\frac{u}{v} d u} = \frac{u^{2}}{2 v}$$
Lägg till integrationskonstanten:
$$\int{\frac{u}{v} d u} = \frac{u^{2}}{2 v}+C$$
Svar
$$$\int \frac{u}{v}\, du = \frac{u^{2}}{2 v} + C$$$A