$$$\frac{e^{x}}{16 - 9 e^{2 x}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{e^{x}}{16 - 9 e^{2 x}}\, dx$$$。

令 $$$u=e^{x}$$$。

則 $$$du=\left(e^{x}\right)^{\prime }dx = e^{x} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$e^{x} dx = du$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{16 - 9 e^{2 x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{9 u^{2} - 16}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{9 u^{2} - 16}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{9 u^{2} - 16}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{9 u^{2} - 16} d u}\right)}}$$

進行部分分式分解（步驟可見 »）:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{9 u^{2} - 16} d u}}} = - {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{8 \left(3 u + 4\right)} + \frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)}\right)d u}}}$$

逐項積分：

$$- {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{8 \left(3 u + 4\right)} + \frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)}\right)d u}}} = - {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u} - \int{\frac{1}{8 \left(3 u + 4\right)} d u}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{8}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{3 u + 4}$$$：

$$- \int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u} + {\color{red}{\int{\frac{1}{8 \left(3 u + 4\right)} d u}}} = - \int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{3 u + 4} d u}}{8}\right)}}$$

令 $$$v=3 u + 4$$$。

則 $$$dv=\left(3 u + 4\right)^{\prime }du = 3 du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$du = \frac{dv}{3}$$$。

因此，

$$- \int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 u + 4} d u}}}}{8} = - \int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 v} d v}}}}{8}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$，使用 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 與 $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$：

$$- \int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 v} d v}}}}{8} = - \int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{3}\right)}}}{8}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$：

$$- \int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{24} = - \int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{24}$$

回顧一下 $$$v=3 u + 4$$$：

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{24} - \int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(3 u + 4\right)}}}\right| \right)}}{24} - \int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{8}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{3 u - 4}$$$：

$$\frac{\ln{\left(\left|{3 u + 4}\right| \right)}}{24} - {\color{red}{\int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u}}} = \frac{\ln{\left(\left|{3 u + 4}\right| \right)}}{24} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{3 u - 4} d u}}{8}\right)}}$$

令 $$$v=3 u - 4$$$。

則 $$$dv=\left(3 u - 4\right)^{\prime }du = 3 du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$du = \frac{dv}{3}$$$。

該積分變為

$$\frac{\ln{\left(\left|{3 u + 4}\right| \right)}}{24} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 u - 4} d u}}}}{8} = \frac{\ln{\left(\left|{3 u + 4}\right| \right)}}{24} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 v} d v}}}}{8}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$，使用 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 與 $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$：

$$\frac{\ln{\left(\left|{3 u + 4}\right| \right)}}{24} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 v} d v}}}}{8} = \frac{\ln{\left(\left|{3 u + 4}\right| \right)}}{24} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{3}\right)}}}{8}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$：

$$\frac{\ln{\left(\left|{3 u + 4}\right| \right)}}{24} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{24} = \frac{\ln{\left(\left|{3 u + 4}\right| \right)}}{24} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{24}$$

回顧一下 $$$v=3 u - 4$$$：

$$\frac{\ln{\left(\left|{3 u + 4}\right| \right)}}{24} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{24} = \frac{\ln{\left(\left|{3 u + 4}\right| \right)}}{24} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(3 u - 4\right)}}}\right| \right)}}{24}$$

回顧一下 $$$u=e^{x}$$$：

$$- \frac{\ln{\left(\left|{-4 + 3 {\color{red}{u}}}\right| \right)}}{24} + \frac{\ln{\left(\left|{4 + 3 {\color{red}{u}}}\right| \right)}}{24} = - \frac{\ln{\left(\left|{-4 + 3 {\color{red}{e^{x}}}}\right| \right)}}{24} + \frac{\ln{\left(\left|{4 + 3 {\color{red}{e^{x}}}}\right| \right)}}{24}$$

因此，

$$\int{\frac{e^{x}}{16 - 9 e^{2 x}} d x} = \frac{\ln{\left(3 e^{x} + 4 \right)}}{24} - \frac{\ln{\left(\left|{3 e^{x} - 4}\right| \right)}}{24}$$

化簡：

$$\int{\frac{e^{x}}{16 - 9 e^{2 x}} d x} = \frac{\ln{\left(3 e^{x} + 4 \right)} - \ln{\left(\left|{3 e^{x} - 4}\right| \right)}}{24}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{e^{x}}{16 - 9 e^{2 x}} d x} = \frac{\ln{\left(3 e^{x} + 4 \right)} - \ln{\left(\left|{3 e^{x} - 4}\right| \right)}}{24}+C$$

$$$\int \frac{e^{x}}{16 - 9 e^{2 x}}\, dx = \frac{\ln\left(3 e^{x} + 4\right) - \ln\left(\left|{3 e^{x} - 4}\right|\right)}{24} + C$$$A