$$$\frac{e^{x}}{16 - 9 e^{2 x}}$$$の積分

$$$\int \frac{e^{x}}{16 - 9 e^{2 x}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=e^{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(e^{x}\right)^{\prime }dx = e^{x} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$e^{x} dx = du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{16 - 9 e^{2 x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{9 u^{2} - 16}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{9 u^{2} - 16}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{9 u^{2} - 16}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{9 u^{2} - 16} d u}\right)}}$$

部分分数分解を行う (手順は»で確認できます):

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{9 u^{2} - 16} d u}}} = - {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{8 \left(3 u + 4\right)} + \frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)}\right)d u}}}$$

項別に積分せよ:

$$- {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{8 \left(3 u + 4\right)} + \frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)}\right)d u}}} = - {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u} - \int{\frac{1}{8 \left(3 u + 4\right)} d u}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{8}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{3 u + 4}$$$ に対して適用する:

$$- \int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u} + {\color{red}{\int{\frac{1}{8 \left(3 u + 4\right)} d u}}} = - \int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{3 u + 4} d u}}{8}\right)}}$$

$$$v=3 u + 4$$$ とする。

すると $$$dv=\left(3 u + 4\right)^{\prime }du = 3 du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = \frac{dv}{3}$$$ となります。

積分は次のようになります

$$- \int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 u + 4} d u}}}}{8} = - \int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 v} d v}}}}{8}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{1}{3}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$ に対して適用する:

$$- \int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 v} d v}}}}{8} = - \int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{3}\right)}}}{8}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$ です:

$$- \int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{24} = - \int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{24}$$

次のことを思い出してください $$$v=3 u + 4$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{24} - \int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(3 u + 4\right)}}}\right| \right)}}{24} - \int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{8}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{3 u - 4}$$$ に対して適用する:

$$\frac{\ln{\left(\left|{3 u + 4}\right| \right)}}{24} - {\color{red}{\int{\frac{1}{8 \left(3 u - 4\right)} d u}}} = \frac{\ln{\left(\left|{3 u + 4}\right| \right)}}{24} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{3 u - 4} d u}}{8}\right)}}$$

$$$v=3 u - 4$$$ とする。

すると $$$dv=\left(3 u - 4\right)^{\prime }du = 3 du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = \frac{dv}{3}$$$ となります。

したがって、

$$\frac{\ln{\left(\left|{3 u + 4}\right| \right)}}{24} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 u - 4} d u}}}}{8} = \frac{\ln{\left(\left|{3 u + 4}\right| \right)}}{24} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 v} d v}}}}{8}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{1}{3}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$ に対して適用する:

$$\frac{\ln{\left(\left|{3 u + 4}\right| \right)}}{24} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 v} d v}}}}{8} = \frac{\ln{\left(\left|{3 u + 4}\right| \right)}}{24} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{3}\right)}}}{8}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$ です:

$$\frac{\ln{\left(\left|{3 u + 4}\right| \right)}}{24} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{24} = \frac{\ln{\left(\left|{3 u + 4}\right| \right)}}{24} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{24}$$

次のことを思い出してください $$$v=3 u - 4$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{3 u + 4}\right| \right)}}{24} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{24} = \frac{\ln{\left(\left|{3 u + 4}\right| \right)}}{24} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(3 u - 4\right)}}}\right| \right)}}{24}$$

次のことを思い出してください $$$u=e^{x}$$$:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{-4 + 3 {\color{red}{u}}}\right| \right)}}{24} + \frac{\ln{\left(\left|{4 + 3 {\color{red}{u}}}\right| \right)}}{24} = - \frac{\ln{\left(\left|{-4 + 3 {\color{red}{e^{x}}}}\right| \right)}}{24} + \frac{\ln{\left(\left|{4 + 3 {\color{red}{e^{x}}}}\right| \right)}}{24}$$

したがって、

$$\int{\frac{e^{x}}{16 - 9 e^{2 x}} d x} = \frac{\ln{\left(3 e^{x} + 4 \right)}}{24} - \frac{\ln{\left(\left|{3 e^{x} - 4}\right| \right)}}{24}$$

簡単化せよ:

$$\int{\frac{e^{x}}{16 - 9 e^{2 x}} d x} = \frac{\ln{\left(3 e^{x} + 4 \right)} - \ln{\left(\left|{3 e^{x} - 4}\right| \right)}}{24}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{e^{x}}{16 - 9 e^{2 x}} d x} = \frac{\ln{\left(3 e^{x} + 4 \right)} - \ln{\left(\left|{3 e^{x} - 4}\right| \right)}}{24}+C$$

$$$\int \frac{e^{x}}{16 - 9 e^{2 x}}\, dx = \frac{\ln\left(3 e^{x} + 4\right) - \ln\left(\left|{3 e^{x} - 4}\right|\right)}{24} + C$$$A