$$$\frac{2 e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{2 e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{2 e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}} d x}\right)}}$$

令 $$$u=- \frac{2}{x}$$$。

則 $$$du=\left(- \frac{2}{x}\right)^{\prime }dx = \frac{2}{x^{2}} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\frac{dx}{x^{2}} = \frac{du}{2}$$$。

因此，

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=- \frac{2}{x}$$$：

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\left(- \frac{2}{x}\right)}}}$$

因此，

$$\int{\frac{2 e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}} d x} = e^{- \frac{2}{x}}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{2 e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}} d x} = e^{- \frac{2}{x}}+C$$

$$$\int \frac{2 e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}}\, dx = e^{- \frac{2}{x}} + C$$$A