$$$\frac{2 e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{2 e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}}\, dx$$$。

对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{2 e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}} d x}\right)}}$$

设$$$u=- \frac{2}{x}$$$。

则$$$du=\left(- \frac{2}{x}\right)^{\prime }dx = \frac{2}{x^{2}} dx$$$ (步骤见»)，并有$$$\frac{dx}{x^{2}} = \frac{du}{2}$$$。

该积分可以改写为

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=- \frac{2}{x}$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\left(- \frac{2}{x}\right)}}}$$

因此，

$$\int{\frac{2 e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}} d x} = e^{- \frac{2}{x}}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{2 e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}} d x} = e^{- \frac{2}{x}}+C$$

$$$\int \frac{2 e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}}\, dx = e^{- \frac{2}{x}} + C$$$A