$$$e^{t} \cos{\left(3 t \right)}$$$ 的積分

求$$$\int e^{t} \cos{\left(3 t \right)}\, dt$$$。

對於積分 $$$\int{e^{t} \cos{\left(3 t \right)} d t}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\cos{\left(3 t \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{t} dt$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(3 t \right)}\right)^{\prime }dt=- 3 \sin{\left(3 t \right)} dt$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{t} d t}=e^{t}$$$（步驟見 »）。

所以，

$${\color{red}{\int{e^{t} \cos{\left(3 t \right)} d t}}}={\color{red}{\left(\cos{\left(3 t \right)} \cdot e^{t}-\int{e^{t} \cdot \left(- 3 \sin{\left(3 t \right)}\right) d t}\right)}}={\color{red}{\left(e^{t} \cos{\left(3 t \right)} - \int{\left(- 3 e^{t} \sin{\left(3 t \right)}\right)d t}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=-3$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = e^{t} \sin{\left(3 t \right)}$$$：

$$e^{t} \cos{\left(3 t \right)} - {\color{red}{\int{\left(- 3 e^{t} \sin{\left(3 t \right)}\right)d t}}} = e^{t} \cos{\left(3 t \right)} - {\color{red}{\left(- 3 \int{e^{t} \sin{\left(3 t \right)} d t}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{e^{t} \sin{\left(3 t \right)} d t}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\sin{\left(3 t \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{t} dt$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(3 t \right)}\right)^{\prime }dt=3 \cos{\left(3 t \right)} dt$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{t} d t}=e^{t}$$$（步驟見 »）。

該積分可改寫為

$$e^{t} \cos{\left(3 t \right)} + 3 {\color{red}{\int{e^{t} \sin{\left(3 t \right)} d t}}}=e^{t} \cos{\left(3 t \right)} + 3 {\color{red}{\left(\sin{\left(3 t \right)} \cdot e^{t}-\int{e^{t} \cdot 3 \cos{\left(3 t \right)} d t}\right)}}=e^{t} \cos{\left(3 t \right)} + 3 {\color{red}{\left(e^{t} \sin{\left(3 t \right)} - \int{3 e^{t} \cos{\left(3 t \right)} d t}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=3$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = e^{t} \cos{\left(3 t \right)}$$$：

$$3 e^{t} \sin{\left(3 t \right)} + e^{t} \cos{\left(3 t \right)} - 3 {\color{red}{\int{3 e^{t} \cos{\left(3 t \right)} d t}}} = 3 e^{t} \sin{\left(3 t \right)} + e^{t} \cos{\left(3 t \right)} - 3 {\color{red}{\left(3 \int{e^{t} \cos{\left(3 t \right)} d t}\right)}}$$

我們得到了先前見過的一個積分。

因此，我們得到關於該積分的如下簡單等式：

$$\int{e^{t} \cos{\left(3 t \right)} d t} = 3 e^{t} \sin{\left(3 t \right)} + e^{t} \cos{\left(3 t \right)} - 9 \int{e^{t} \cos{\left(3 t \right)} d t}$$

求解後，可得

$$\int{e^{t} \cos{\left(3 t \right)} d t} = \frac{\left(3 \sin{\left(3 t \right)} + \cos{\left(3 t \right)}\right) e^{t}}{10}$$

因此，

$$\int{e^{t} \cos{\left(3 t \right)} d t} = \frac{\left(3 \sin{\left(3 t \right)} + \cos{\left(3 t \right)}\right) e^{t}}{10}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{t} \cos{\left(3 t \right)} d t} = \frac{\left(3 \sin{\left(3 t \right)} + \cos{\left(3 t \right)}\right) e^{t}}{10}+C$$

$$$\int e^{t} \cos{\left(3 t \right)}\, dt = \frac{\left(3 \sin{\left(3 t \right)} + \cos{\left(3 t \right)}\right) e^{t}}{10} + C$$$A