$$$9 e^{\frac{t}{2}}$$$ 的積分

求$$$\int 9 e^{\frac{t}{2}}\, dt$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=9$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = e^{\frac{t}{2}}$$$：

$${\color{red}{\int{9 e^{\frac{t}{2}} d t}}} = {\color{red}{\left(9 \int{e^{\frac{t}{2}} d t}\right)}}$$

令 $$$u=\frac{t}{2}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{t}{2}\right)^{\prime }dt = \frac{dt}{2}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dt = 2 du$$$。

所以，

$$9 {\color{red}{\int{e^{\frac{t}{2}} d t}}} = 9 {\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$9 {\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}} = 9 {\color{red}{\left(2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$18 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 18 {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{t}{2}$$$：

$$18 e^{{\color{red}{u}}} = 18 e^{{\color{red}{\left(\frac{t}{2}\right)}}}$$

因此，

$$\int{9 e^{\frac{t}{2}} d t} = 18 e^{\frac{t}{2}}$$

加上積分常數：

$$\int{9 e^{\frac{t}{2}} d t} = 18 e^{\frac{t}{2}}+C$$

$$$\int 9 e^{\frac{t}{2}}\, dt = 18 e^{\frac{t}{2}} + C$$$A