$$$9 e^{\frac{t}{2}}$$$の積分

$$$\int 9 e^{\frac{t}{2}}\, dt$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=9$$$ と $$$f{\left(t \right)} = e^{\frac{t}{2}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{9 e^{\frac{t}{2}} d t}}} = {\color{red}{\left(9 \int{e^{\frac{t}{2}} d t}\right)}}$$

$$$u=\frac{t}{2}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{t}{2}\right)^{\prime }dt = \frac{dt}{2}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dt = 2 du$$$ となります。

したがって、

$$9 {\color{red}{\int{e^{\frac{t}{2}} d t}}} = 9 {\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$9 {\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}} = 9 {\color{red}{\left(2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$18 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 18 {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{t}{2}$$$:

$$18 e^{{\color{red}{u}}} = 18 e^{{\color{red}{\left(\frac{t}{2}\right)}}}$$

したがって、

$$\int{9 e^{\frac{t}{2}} d t} = 18 e^{\frac{t}{2}}$$

積分定数を加える:

$$\int{9 e^{\frac{t}{2}} d t} = 18 e^{\frac{t}{2}}+C$$

$$$\int 9 e^{\frac{t}{2}}\, dt = 18 e^{\frac{t}{2}} + C$$$A